[論文レビュー] First Steps in Algorithmic Fewnomial Theory

Frédéric Bihan, J. Maurice Rojas+1 more|ArXiv.org|Nov 5, 2004

Polynomial and algebraic computation参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、スパース多項式の実根可能性に関する計算複雑性における段階的転移を確立する。n 変数 (n+2)-項多項式が実根を持つかどうかを判定することは多項式時間で解けるが、任意の ε > 0 に対して n + n^ε 項を超えると NP 困難になる。解析はディオファントス近似および A-判別式の道具を用いて、特定の少数項多項式クラスにおける効率的な決定基準を導出する。

ABSTRACT

Fewnomial theory began with explicit bounds -- solely in terms of the number of variables and monomial terms -- on the number of real roots of systems of polynomial equations. Here we take the next logical step of investigating the corresponding existence problem: Let FEAS_R denote the problem of deciding whether a given system of multivariate polynomial equations with integer coefficients has a real root or not. We describe a phase-transition for when m is large enough to make FEAS_R be NP-hard, when restricted to inputs consisting of a single n-variate polynomial with exactly m monomial terms: polynomial-time for m<=n+2 (for any fixed n) and NP-hardness for m<=n+n^{epsilon} (for n varying and any fixed epsilon>0). Because of important connections between FEAS_R and A-discriminants, we then study some new families of A-discriminants whose signs can be decided within polynomial-time. (A-discriminants contain all known resultants as special cases, and the latter objects are central in algorithmic algebraic geometry.) Baker's Theorem from diophantine approximation arises as a key tool. Along the way, we also derive new quantitative bounds on the real zero sets of n-variate (n+2)-nomials.

研究の動機と目的

• スパース多項式系、特に少ない単項式項をもつ少数項多項式の文脈において、実根可能性問題 (FEAS_R) の計算複雑性を特定すること。
• n 変数 m 項多項式の文脈において、実根可能性問題が多項式時間で解けるか NP 困難になるかの境界を同定すること。
• 特に (n+2)-項多項式および特定の A-判別式族に属する少数項多項式の実根の存在を決定するための効率的アルゴリズムを開発すること。
• 実根の複雑性をディオファントス近似の深い結果、特にベイカーの定理と結びつけ、A-判別式に応用すること。
• n 変数 (n+2)-項多項式の実零点の数および構造に関する定量的境界を提供し、アルゴリズム的少数項理論を前進させること。

提案手法

• 支持集合の次元を活用して、n 変数 m 項多項式の実根可能性問題を次元の低いトーラス上の問題に還元する。ユニモジュラー変換を用いる。
• ディオファントス近似からのベイカーの定理を用いて、実根の大きさを抑え、ローレンツ多項式の符号パターンに関する決定基準を導出する。
• スミス標準形およびユニモジュラー行列を用いて、指数行列を対角形に変換し、実トーラス上での符号条件の解析を可能にする。
• 変数のスケーリングにより (n+2)-項多項式の標準形を導入し、係数を正規化することで、根の存在を変換された指数行列上の符号条件のチェックに帰着させる。
• A-判別式の構造とその符号パターンを活用して、スパース系の多項式時間で解ける族を同定する。
• アフィン独立性およびサポート次元の概念を用いて、少数項多項式系が低次元の同等系に還元可能となる条件を分類し、根可能性解析を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n 変数 m 項多項式の実根可能性問題がどの m の値で多項式時間で解けるか。
• RQ2 n を変化させるとき、n 変数 m 項多項式の実根可能性問題が NP 困難に転移する m の正確な閾値は何か（n の関数として）。
• RQ3 特定のスパース多項式族に対して、A-判別式の符号を多項式時間で決定できるか。
• RQ4 n 変数 (n+2)-項多項式の実零点集合は、連結成分の数および構造に関してどのように振る舞うか。
• RQ5 ディオファントス近似におけるベイカーの定理を、スパース多項式の実根に対する有効な境界を導出するためにどの程度活用できるか。

主な発見

• n 変数 (n+2)-項多項式の実根可能性問題は、任意の固定された n に対して多項式時間で解ける。これは標準形と符号に基づく決定基準のおかげである。
• n 変数 m 項多項式について、任意の ε > 0 に対して m ≥ n + n^ε を満たす場合、実根可能性問題は NP 困難になる。
• n 変数 (n+2)-項多項式について、(R*)^n 内に実根が存在するかは、変換後の指数行列に奇数の成分が存在するかどうかに依存し、多項式時間で決定可能である。
• n 変数 (n+2)-項多項式が R^n_+ 内に実根を持つことは、正の項の数が n より少ないことと同値である。
• 本稿では、n 変数 (n+2)-項多項式の実零点集合の連結成分の数について、新たな定量的境界を提供し、それが有限かつ有効に境界づけられることを示している。
• 特定のスパースサポートに付随する A-判別式の符号は、多項式時間で決定可能であり、スパース代数的幾何におけるアルゴリズム的道具を拡張している。