[論文レビュー] Flat bands and band touching from real-space topology in hyperbolic lattices

Tomáš Bzdušek, Joseph Maciejko|arXiv (Cornell University)|May 23, 2022

Topological Materials and Phenomena参考文献 73被引用数 53

ひとこと要約

本稿は、非ユークリッド的kagomeおよびdice格子の類似物である双曲格子におけるフラットバンドおよびバンド接触現象を説明するため、実空間トポロジーと双曲バンド理論を統合した包括的な枠組みを確立する。双曲空間の高(genus)トポロジーが周期的境界条件下でフラットバンドの割合とバンド接触インデックスを決定することを示しており、アーベル的既約表現がバンド接触を支配し、非アーベル的既約表現が同一のフラットバンド割合をもたらす。

ABSTRACT

Motivated by the recent experimental realizations of hyperbolic lattices in circuit quantum electrodynamics and in classical electric-circuit networks, we study flat bands and band-touching phenomena in such lattices. We analyze noninteracting nearest-neighbor hopping models on hyperbolic analogs of the kagome and dice lattices with heptagonal and octagonal symmetry. We show that two characteristic features of the energy spectrum of those models, namely the fraction of states in the flat band as well as the number of touching points between the flat band and the dispersive bands, can both be captured exactly by a combination of real-space topology arguments and a reciprocal-space description via the formalism of hyperbolic band theory. Furthermore, using real-space numerical diagonalization on finite lattices with periodic boundary conditions, we obtain new insights into higher-dimensional irreducible representations of the non-Euclidean (Fuchsian) translation group of hyperbolic lattices. First, we find that the fraction of states in the flat band is the same for Abelian and non-Abelian hyperbolic Bloch states. Second, we find that only Abelian states participate in the formation of touching points between the flat and dispersive bands.

研究の動機と目的

• 負の曲率により通常の運動量空間を持たない双曲格子におけるフラットバンドおよびバンド接触現象の起源を理解すること。
• 従来はユークリッド格子に限定されていた実空間トポロジー的議論を、周期的境界条件を満たす非ユークリッド的双曲格子へ一般化すること。
• ユークリッド的および双曲的フラットバンド物理学の不一致を解消するため、高(genus)実空間トポロジーの役割を同定すること。
• 双曲バンド理論におけるフクシアン移動群のアーベル的および非アーベル的既約表現のスペクトル的寄与を特徴付けること。
• 実空間および双曲運動量空間形式を併用して、フラットバンド割合とバンド接触インデックスを統一的に記述すること。

提案手法

• 境界効果を排除するため、周期的境界条件を満たす有限な双曲格子を用いて体積特性をシミュレートする。
• 非ユークリッド格子上でのコンパクトな局在状態（CLS）および拡張状態を特定するために、実空間トポロジー的議論を適用する。
• フクシアン移動群の一般化されたブリユアンゾーンおよび既約表現を記述するため、双曲バンド理論（HBT）を用いる。
• エネルギー準位とフラットバンド割合、バンド接触degeneracyを抽出するために、実空間数値的対角化を実施する。
• フクシアン群のアーベル的および非アーベル的既約表現がスペクトル的特徴に与える役割を分析する。
• 対称性やバンド構造が異なる4つの双曲格子（八角形-kagome、八角形-dice、ヘプタゴン-kagome、ヘプタゴン-dice）間で結果を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲格子におけるフラットバンド内の状態の割合は何かが決定しており、これはユークリッド系とどのように異なるか？
• RQ2 なぜ一部の双曲格子ではフラットバンドと分散バンドの間でバンド接触が生じるが、他の格子ではギャップを持つのか？
• RQ3 フクシアン移動群のアーベル的および非アーベル的既約表現はエネルギー準位にどのように寄与するか？
• RQ4 実空間トポロジーと双曲バンド理論を統合することで、非ユークリッド格子におけるフラットバンド現象を説明可能か？
• RQ5 周期的境界条件下で、高(genus)トポロジーは双曲格子のスペクトル的性質にどのように寄与するか？

主な発見

• フクシアン移動群のアーベル的および非アーベル的既約表現の両方において、フラットバンド割合が同一であるため、普遍的なトポロジカル起源が示唆される。
• フラットバンドと分散バンドの間のバンド接触点は、アーベル的既約表現に起因し、非アーベル的表現では生じない。
• 八角形-kagome格子では、フラットバンド割合が1/3、バンド接触インデックスが1であり、ユークリッドkagome格子と整合的である。
• ヘプタゴン-kagome格子では、フラットバンド割合が1/3、バンド接触インデックスが0であり、ギャップを持つフラットバンドを示している。
• 八角形-dice格子では、フラットバンド割合が5/11、バンド接触インデックスが2であり、高い配位数と非自明なトポロジーを反映している。
• 結果から、双曲格子のスペクトル的性質が、負の曲率により高(genus)となるPBC多様体の実空間トポロジーによって支配されていることが明らかになった。