[論文レビュー] Floer homology of cotangent bundles and the loop product

Alberto Abbondandolo, Matthias Schwarz|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、コンpact多様体の余接 bundle における Floer homology とその自由ループ空間の特異ホモロジーの間の深いつながりを確立し、Floer homology におけるペア・オブ・パンツ積が、ループ空間ホモロジーにおける Chas-Sullivan ループ積に正確に対応することを証明する。Floer理論とモース理論を融合した新規なフリードホルム解析およびコーボルディズム技法を用いて、勾配流れ軌道と正則曲線（ジャンプする共型境界条件を満たす）を介した幾何的交差積としてループ積を実現する、チェーンレベルの同型写像を構成する。

ABSTRACT

We prove that the pair-of-pants product on the Floer homology of the cotangent bundle of a compact manifold M corresponds to the Chas-Sullivan loop product on the singular homology of the loop space of M. We also prove related results concerning the Floer homological interpretation of the Pontrjagin product and of the Serre fibration. The techniques include a Fredholm theory for Cauchy-Riemann operators with jumping Lagrangian boundary conditions of conormal type, and a new cobordism argument replacing the standard gluing technique.

研究の動機と目的

• 余接 bundle $T^*M$ における Floer homology のペア・オブ・パンツ積と、自由ループ空間 $\Lambda(M)$ の特異ホモロジーにおける Chas-Sullivan ループ積との間の正確な対応を確立すること。
• 作用汎関数 $W^{1,2}(\mathbb{T}, M)$ 上のモース理論的構成を用いて、ループ積およびポントリャーギン積のチェーンレベル記述を提供すること。
• 非局所境界条件を扱うために不可欠な、ジャンプするラグラジアン境界条件をもつ共型型の Cauchy-Riemann 算術の新しいフリードホルム理論を構築すること。
• 擬正則曲線のモジュライ空間に対するコンパクトネスおよび正規性の結果を示すために、フロア理論における標準的なグルーピング技法を、新規なコーボルディズム論法に置き換えること。
• 一様凸なハミルトニアンの Floer コンプレックスと、双対ラグラジアン作用汎関数のモース コンプレックスとの間の明示的同型写像を構成し、$HF_*(T^*M)$ と $H_*(\Lambda(M))$ を同定すること。

提案手法

• 半円筒上のフロア方程式と、$W^{1,2}(\mathbb{T}, M)$ 上のラグラジアン作用汎関数 $\mathbb{S}_L$ の勾配流れ方程式を結合するハイブリッド手法を構築すること。
• 時間に依存するハミルトニアン $H$ を用いて、$T^*M$ 上で漸近的に二次的に運動量が増加する非局所共型境界条件に対するフロアコンプレックスを定義すること。
• 擬正則曲線のジャンプ境界条件をもつモジュライ空間に対するコンパクトネスおよび正規性を示すために、標準的なグルーピング技法に代わる新規なコーボルディズム論法を導入すること。
• 四分円および半ストリップ上でのマスロフ指数、楕円的推移、インデックス計算の解析を通じて、ジャンプする共型境界条件をもつコーシー＝リーマン作用素に対するフリードホルム理論を確立すること。
• 境界付近での解の制御のためにリウヴィル型結果を用い、非局所境界条件をもつ作用素のフリードホルム性を証明すること。
• 明示的チェーン写像 $\mathbf{C}$, $\mathbf{Ev}$, $\mathbf{I_!}$ を用いて、モース複体とフロア複体の間のチェーン同型写像を構成し、フロアホモロジーにおけるペア・オブ・パンツ積が特異ホモロジーにおけるループ積に対応することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余接 bundle $T^*M$ におけるフロアホモロジーのペア・オブ・パンツ積は、$H_*(\Lambda(M))$ における Chas-Sullivan ループ積に対応するか？
• RQ2 作用汎関数上のモース理論的構成を用いて、$H_*(\Lambda(M))$ 上のポントリャーギン積を幾何的にどのように実現できるか？
• RQ3 ジャンプするラグラジアン境界条件をもつ共型型の Cauchy-Riemann 算術の正しいフリードホルム理論とは何か？
• RQ4 フロアホモロジーにおける標準的グルーピング技法を、コンパクトネスおよび正規性を示すためにコーボルディズム論法に置き換えることは可能か？
• RQ5 一様凸ハミルトニアンのフロア複体と双対ラグラジアン作用汎関数のモース複体との間に、チェーンレベルの同型写像が存在するか？

主な発見

• 余接 bundle $T^*M$ におけるフロアホモロジーのペア・オブ・パンツ積は、チェーンレベルで $H_*(\Lambda(M))$ における Chas-Sullivan ループ積と同型である。
• $H_*(\Lambda(M))$ 上のポントリャーギン積は、ループ空間上での勾配流れの不安定多様体と安定多様体の交差を用いたチェーン写像によって幾何的に実現される。
• ジャンプする共型境界条件をもつコーシー＝リーマン作用素に対する新しいフリードホルム理論が構築され、マスロフ指数および楕円的推移を用いてフリードホルム性とインデックスの計算が証明された。
• 一様凸ハミルトニアンのフロア複体と双対ラグラジアン作用汎関数のモース複体との間で明示的チェーン同型写像が構成され、$HF_*(T^*M) \cong H_*(\Lambda(M))$ が確立された。
• コーボルディズム論法が標準的グルーピング技法に置き換えられ、非局所境界条件をもつ擬正則曲線のモジュライ空間に対するコンパクトネスおよび正規性が証明された。
• フロア理論におけるホモーレジスム $\mathbf{C}$, $\mathbf{Ev}$, および $\mathbf{I_!}$ は、チェーンレベルでモース理論的写像 $c_*$, $ev_*$, および $i_!$ に正確に対応しており、ループ積の幾何的起源が確認された。