[論文レビュー] Floor diagrams relative to a conic, and GW-W invariants of Del Pezzo surfaces

Erwan Brugallé|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 46被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、$n=6,7,8$ の場合のデル・ペッツォ表面 $X_n$ のグロモフ＝ウィッテンおよびウェルシュインガー不変量を、$\mathbb{C}P^2$ の円錐曲線上の $n$ 個の点での blow-up $\widetilde{X}_n$ における曲線の数え上げを通じて、円錐曲線に関するフロア図を用いて計算する。この手法はリーの崩壊公式およびその実数版を活用しており、任意の genus における不変量の明示的計算を可能にし、$X_8$ についても新たな結果を提供する。特に、$X_8$ における正の genus でのグロモフ＝ウィッテン不変量の初の明示的計算が達成された。

ABSTRACT

We enumerate, via floor diagrams, complex and real curves in the projective plane blown up in $n$ points on a conic. As an application, we deduce Gromov-Witten and Welschinger invariants of Del Pezzo surfaces. These results are mainly obtained using Li's degeneration formula and its real counterpart.

研究の動機と目的

• 任意の genus における $n=6,7,8$ のデル・ペッツォ表面 $X_n$ のグロモフ＝ウィッテンおよびウェルシュインガー不変量を計算すること。
• $\mathbb{C}P^2$ の円錐曲線上の $n$ 個の点での blow-up $\widetilde{X}_n$ における、複素曲線と実曲線を同時に数えることが可能な、有効な点配置の構成。
• 特に実数列挙幾何学に向けた、円錐曲線に関する相対的設定へのフロア図の適用範囲を拡張すること。
• $X_8$ における正の genus でのグロモフ＝ウィッテン不変量の初の明示的計算を提供すること。これは長年の未解決問題であった。
• 組合せ的構造を通じて、トロピカル的ウェルシュインガー不変量、精製セバーサ度、および実不変量との間の関係を確立すること。

提案手法

• 円錐曲線に関するフロア図を用いて、$\mathbb{C}P^2$ の $n$ 個の点での blow-up $\widetilde{X}_n$ における複素曲線および実曲線の数え上げを行う。
• リーの崩壊公式およびその実数版を適用し、$X_n$ の不変量を、より単純な曲面の和への崩壊を通じて $\widetilde{X}_n$ の不変量に還元する。
• アブラモビッチ＝ベルトラン＝バカイルの公式およびその実数版を用い、崩壊後の不変量を計算する。これにより、多重被覆の処理を回避する。
• $\widetilde{X}_n$ における与えられた genus およびホモロジー類の曲線が通過する点の配置を、有限かつ計算可能となるように構成する。
• 特に $X_6$ や $X_7$ の主要な崩壊において、分岐被覆が存在しないことを利用し、$X_8$ への手法の拡張を保証する。分岐被覆は [SS13] を用いて制御する。
• 実構造および $s$-不変量に関して、一般化された結果を提示し、精製不変量およびトロピカル不変量への拡張の可能性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、組合せ的ツールを用いて、デル・ペッツォ表面 $X_n$ のグロモフ＝ウィッテン不変量を任意の genus で計算できるか？
• RQ2 円錐曲線に関するフロア図は、$\mathbb{C}P^2$ の blow-up における実曲線および複素曲線の数え上げにおいて、果たす役割は何か？
• RQ3 既に明示的な結果が得られていないにもかかわらず、崩壊技法を用いて $X_8$ の正の genus におけるウェルシュインガー不変量を計算できるか？
• RQ4 トロピカル的ウェルシュインガー不変量と、本稿で計算された精製不変量との関係は何か？
• RQ5 異なる実構造および曲面の実部の位相的型に応じて、ウェルシュインガー不変量の符号はどのように変化するか？

主な発見

• 本稿は、$X_8$ における正の genus でのグロモフ＝ウィッテン不変量の初の明示的計算を提供し、分野における顕著な進展をもたらした。
• 定理 4.1 および 4.3 は、崩壊およびフロア図を用いて $\widetilde{X}_6$ における数え上げを通じて、$X_6$ のグロモフ＝ウィッテンおよびウェルシュインガー不変量を計算する。
• 定理 6.6 および 6.9 は、$X_7$ への手法の拡張を示し、不変量を $\widetilde{X}_6 \cup \widetilde{X}_2$ における不変量に還元するが、多重被覆は存在しない。
• 定理 7.2 および 7.5 は、$X_8$ へのアプローチを一般化し、$\widetilde{X}_{6,1} \cup \widetilde{X}_2$ への崩壊を用いる。分岐被覆は [SS13] を用いて処理する。
• 系 4.4, 4.5, 6.10, 6.11, 7.6, 7.7, および 7.8 は、ウェルシュインガー不変量の符号、鋭さ、算術的性質に関する新たな結果を導出する。
• 本稿は、$s=0$ の $X_3$ におけるウェルシュインガー不変量がトロピカル的ウェルシュインガー不変量と一致することを示し、より深い概念的関係を示唆する。