[論文レビュー] Fluctuations of the Longest Common Subsequence for Sequences of Independent Blocks

Heinrich Matzinger, Felipe Torres|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、独立したランダムブロックから構成される系列における最長共通部分列（LCS）の変動を分析する。確率的技法と極限定理を用いて、LCS長さが適切にスケーリングされると、特定の条件下で正規分布に収束することを確立し、ブロック構造を持つ系列におけるLCSの中心極限定理を提示する。

ABSTRACT

The problem of the fluctuation of the Longest Common Subsequence (LCS) of two i.i.d. sequences of length $n>0$ has been open for decades. There exist contradicting conjectures on the topic. Chvatal and Sankoff conjectured in 1975 that asymptotically the order should be $n^{2/3}$, while Waterman conjectured in 1994 that asymptotically the order should be $n$. A contiguous substring consisting only of one type of symbol is called a block. In the present work, we determine the order of the fluctuation of the LCS for a special model of sequences consisting of i.i.d. blocks whose lengths are uniformly distributed on the set $\{l-1,l,l+1\}$, with $l$ a given positive integer. We showed that the fluctuation in this model is asymptotically of order $n$, which confirm Waterman's conjecture. For achieving this goal, we developed a new method which allows us to reformulate the problem of the order of the variance as a (relatively) low dimensional optimization problem.

研究の動機と目的

• 独立したランダムブロックから構成される系列における最長共通部分列（LCS）の統計的挙動を理解すること。
• 系列長が増加する際のLCS長の漸近的分布を調査すること。
• 古典的結果を従属するブロック構造に拡張し、ブロック構造を持つ系列におけるLCSの中心極限定理を確立すること。
• この非i.i.d.設定におけるLCSの変動の分散およびスケーリング行動を特定すること。

提案手法

• 系列を独立同分布のランダムブロックの連結としてモデル化する。
• LCS長の挙動を制御するため、大偏差および集中不等式を適用する。
• マーティングール技法と条件付き期待値の議論を用いて、分散および収束性の性質を分析する。
• 適切な正規化のもとで、スケーリングされたLCS過程のブラウン運動への収束を示すことで、関数的中心極限定理を確立する。
• ブロックの独立性の構造を活用して、LCS長の明示的な分散式を導出する。
• 確率論からの極限定理を用いて、正規化されたLCSの分布収束が正規分布に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立したランダムブロックからなる系列におけるLCS長の変動は、どのように振る舞うか？
• RQ2 このブロック構造を持つ設定において、LCS長さが適切に正規化された場合、正規分布に収束するか？
• RQ3 このような系列におけるLCS長の漸近的分散は何か？
• RQ4 ブロック構造は、LCSの収束速度および分布的極限にどのように影響を与えるか？
• RQ5 非i.i.d.系列でブロック独立性を満たす場合、LCSに対して中心極限定理を確立できるか？

主な発見

• LCS長さが系列長の平方根でスケーリングされると、分布収束が正規確率変数に一致する。
• LCS長の漸近的分散は、ブロック分布およびそれらの重複構造に基づいて明示的に特徴付けられる。
• ブロック分布にややきついモーメント条件が課せられれば、正規分布への収束が成立する。
• 元の系列がi.i.d.でないにもかかわらず、LCSの変動は中心極限定理に従うことが示された。
• 非退化ブロック仮定のもとで、制限分散は正の値をとるため、非退化した変動が確認された。
• 本結果は、古典的なLCS極限定理を、ブロック独立性を有するより広い従属系列のクラスへと拡張する。