[論文レビュー] Formality for algebroids II: Formality theorem for gerbes

Paul Bressler, Alexander Gorokhovsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、滑らかで複素多様体上のシフトの変形から、gerbeへのコンツェビッチの形式的定理を拡張し、gerbeの構造層のホッホシュライブコホモロジー複体とその多ベクトル場の間の擬同型を確立する。主な貢献は、gerbeのための形式的擬同型写像を構成し、コンツェビッチの元々の結果を変形理論における高次カテゴリカル構造へ一般化することである。

ABSTRACT

We extend the formality theorem of Maxim Kontsevich from deformations of the structure sheaf on a manifold to deformations of gerbes on smooth and complex manifolds.

研究の動機と目的

• 滑らかで複素多様体上のシフトからgerbeへコンツェビッチの形式的定理を一般化すること。
• ホッホシュライブコホモロジーと多ベクトル場を用いてgerbeの変形理論的枠組みを確立すること。
• 変形量子化の形式的枠組みを、gerbeのような高次カテゴリカル対象へ拡張すること。
• gerbeの変形複体とその多ベクトル場表現との間のホモトピー的同値性を提供すること。

提案手法

• 導来代数幾何を用いて、コンツェビッチの形式的写像をgerbeの設定へ適応すること。
• 複素多様体上のgerbeの構造層のためのホッホシュライブコホモロジー複体を構成すること。
• 導来カテゴリとねじれた層の理論を用いて、gerbeの変形をモデル化すること。
• gerbeの無限小変形を分類する、基になる多様体上の多ベクトル場複体を定義すること。
• ホッホシュライブコホモロジー複体と多ベクトル場複体の間の擬同型を確立すること。
• L∞-写像の形式的枠組みを用いて、gerbeの文脈における形式的写像を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンツェビッチの形式的定理は、複素多様体上のシフトからgerbeへ拡張可能か？
• RQ2 gerbeの適切なホッホシュライブコホモロジー理論は何か、そして多ベクトル場とどのように関係するか？
• RQ3 gerbeの変形は、基になる多様体の幾何とどのように関係するか？
• RQ4 gerbeのホッホシュライブ複体とその多ベクトル場複体との間に、標準的な擬同型写像が存在するか？
• RQ5 アティヤ類はgerbeの形式的性質において果たす役割は何か？

主な発見

• gerbeのホッホシュライブコホモロジー複体とその関連する多ベクトル場複体との間で、形式的擬同型写像が構成された。
• gerbeのための形式的写像は、コンツェビッチの元々の構成を高次カテゴリカル構造へ一般化している。
• gerbeの変形理論は、シフトと同様の形式的枠組みに従うが、gerbeのねじれデータによって豊かにされる。
• gerbeの導来カテゴリは、形式的結果と整合する形式的変形量子化を許容する。
• この構成は、基になる複素多様体の幾何に内在的であり、gerbeのスタック的性質を尊重する。