[論文レビュー] Fourier transforms from strongly complementary observables

Stefano Gogioso, William J. Zeng|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、強いて補完的観測可能性—†-対称モノイダル圏におけるホップ代数—から、量子フーリエ変換の圏論的基盤を確立する。これは、任意の半環および非アーベル群へのフーリエ変換の一般化を可能にし、有限次元ヒルバート空間におけるポントリャーギン双対性およびゲルファンド＝ナイマーク定理を特別な場合として回復する圏同型を証明する。

ABSTRACT

Ongoing work in quantum information emphasises the need for a structural understanding of quantum speedups: in this work, we focus on the quantum Fourier transform and the structures in quantum theory that enable it. We elucidate a general connection in any process theory between the Fourier transform and strongly complementary observables, i.e. Hopf algebras in dagger symmetric monoidal categories. We generalise the necessary tools of representation theory from fdHilb to arbitrary dagger symmetric monoidal categories. We define groups, characters and representations, and we prove their relation to strong complementarity. The Fourier transform is then defined in terms of pairs of strongly complementary observables, in both the abelian and non-abelian case. In the abelian case, we draw the connection with Pontryagin duality and provide categorical proofs of the Fourier Inversion Theorem, the Convolution Theory, and Pontryagin duality. Our work finds application in the novel characterisation of the Fourier transform for the category fRel of finite sets and relations. This is a result of interest for the study of categorical quantum algorithms, as the usual construction of the quantum Fourier transform in terms of Fourier matrices is shown to fail in fRel. Despite this, the process theoretic perspective on the Fourier transform is sensible in this setting. Furthermore, our categorical setting provides a generalisation of the abelian Fourier transform from finite-dimensional Hilbert spaces to finite-dimensional modules over arbitrary semirings, as well as a further generalisation to finite non-abelian groups, including a fully categorical generalisation of the Gelfand-Naimark theorem.

研究の動機と目的

• 量子加速の構造的・プロセス的理論的理解、特に量子フーリエ変換を提供すること。
• 有限次元ヒルバート空間を超えて、任意の†-対称モノイダル圏へフーリエ変換を一般化すること。
• この抽象的枠組みにおいて、群、特徴、表現を圏論的に定義すること。
• フーリエ変換が、強いて補完的観測可能性のペアから自然に生じることを示すこと。
• ポントリャーギン双対性やゲルファンド＝ナイマーク定理といった既知の結果が、fdHilbにおける特別な場合として回復されることを示すこと。

提案手法

• †-対称モノイダル圏（†-SMC）を、プロセス理論の一般枠組みとして用いる。
• 任意の†-SMCにおいて群、特徴、表現を定義し、fdHilbからの表現理論を一般化する。
• 強いて補完的観測可能性をホップ代数として導入し、量子観測可能性の代数的構造を記述する。
• 畳み込み代数と点乗積代数の間の標準的同型としてフーリエ変換を導出する。
• 豊か化されたポントリャーギン双対性および畳み込み定理を用いて、C*-代数の同型を証明する。
• Rel（集合と関係）において、標準的フーリエ行列が失敗するが、プロセス理論的アプローチは成功することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子フーリエ変換は、行列構成ではなく、観測可能性の構造的性質からどのように導出可能か？
• RQ2 一般のプロセス理論において、フーリエ変換が代数の同型であることを保証する圏論的条件は何か？
• RQ3 強いて補完的観測可能性は、抽象圏におけるポントリャーギン双対性およびゲルファンド＝ナイマーク定理とどのように関係するか？
• RQ4 標準的行列ベースの構成が失敗するような圏（例：Rel）において、フーリエ変換を意味的に定義可能か？
• RQ5 複素数ではなく、任意の半環上で作業する際に、フーリエ変換のどのような一般化が得られるか？

主な発見

• フーリエ変換は、L2[G] 上の畳み込み代数と表現または特徴上の点乗積代数の間のC*-代数の同型として、自然に定義される。
• アーベルの場合、フーリエ変換はL2[G] とL2[G∧] 間のC*-代数の同型であり、ポントリャーギン双対性を圏論的に回復する。
• 非アーベル群の場合、フーリエ変換はL2[G] 上の畳み込み代数と、不可約ユニタリ表現上の点乗積代数の部分代数の間の同型である。
• この構成は、任意の半環上の有限次元モジュールへ一般化可能であり、複素ヒルバート空間を超えたアーベルフーリエ変換を拡張する。
• Relの圏においては、標準的フーリエ行列が失敗するが、プロセス理論的アプローチによりフーリエ変換が適切に定義可能である。
• fdHilbにおいて、表現が恒等の分解を形成する場合、ゲルファンド＝ナイマーク定理は特別な場合として回復され、これは半環上の自由モジュールへ一般化される。