[論文レビュー] Fractional Sobolev Spaces and Functions of Bounded Variation

Maı̈tine Bergounioux, Antonio Leaci+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元におけるリーマン・リウビル分数階ソボレフ空間 $W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ と有界 variation (BV) および特別な有界 variation (SBV) の空間との間の厳密な関係を確立する。$SBV \subset \bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}$ であることが証明された一方で、$\bigcap_{sackepsilon(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+} \setminus BV \neq \emptyset$ であることも示され、分数階ソボレフ空間が SBV を厳密に含み、かつ BV に含まれないことが明らかになった。これにより、BV が $W^{s,1}_{RL,0+}$ に完全に含まれるかどうかは、未解決の問題のまま残っている。

ABSTRACT

We investigate the 1D Riemann-Liouville fractional derivative focusing on the connections with fractional Sobolev spaces, the space $BV$ of functions of bounded variation, whose derivatives are not functions but measures and the space $SBV$, say the space of bounded variation functions whose derivative has no Cantor part. We prove that $SBV$ is included in $W^{s,1} $ for every $s \in (0,1)$ while the result remains open for $BV$. We study examples and address open questions.

研究の動機と目的

• リーマン・リウビル分数階ソボレフ空間と、$BV$ や $SBV$ などの古典的関数空間との関係を明確にすること。
• 先行研究で未解決のまま残っていた、$BV$ 関数が $s\in(0,1)$ の分数階ソボレフ空間 $W^{s,1}_{RL,0+}$ に属するかどうかを調査すること。
• SBV が $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}$ に厳密に含まれること、および $BV$ 外の関数が $W^{s,1}_{RL,0+}$ に属する例を示すために、具体例と反例を提供すること。
• 局所的・点でのリーマン・リウビルの定式化と、グローバル的・ガリャルド型の分数階ソボレフ枠組みとの間のギャップを埋めること。
• 特にカプト・微分を用いる工学的・画像処理応用における分数階微分の今後の厳密な数学的解析の基盤を築くこと。

提案手法

• 本稿では、$s\in(0,1)$ の左側リーマン・リウビル分数階微分を用いて、リーマン・リウビル分数階ソボレフ空間 $W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ を定義する。
• 分数階微分の定義にリーマン・リウビル積分表現を用い、$BV$ や $SBV$ の関数への作用を分析する。
• 分布的微分と測度の分解（ルベーグ部とカントール部）の概念を用いて、$SBV$ 関数を、その微分にカントール部を持たない $BV$ の関数として特徴付ける。
• 明示的な例を構成する：$\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}$ に属するが $SBV$ に属さない単調かつ連続的だが Hölder 継続的でない関数、および $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}$ に属するが $BV$ に属さない至る所微分不可能なワイエルシュトラス型関数。これらは厳密包含関係を示す。
• リーマン・リウビルとガリャルドによる分数階ソボレフ空間の定義を比較し、それぞれが局所的とグローバル的という性質の違いを強調し、補間やベゾフ空間との関係への影響を議論する。
• リーマン・リウビル微分とカプト微分の関係を論じ、両者の既知の関係性に基づき、前者の結果が後者に容易に拡張可能であることを示す。特に初期値問題における物理的解釈の文脈で、これは重要である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間 $SBV(a,b)$ は、交差 $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ に含まれるか。もしそうなら、どのような条件下か？
• RQ2 $BV(a,b) \subset \bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ の包含関係は成立するか、それともこの交差から外れる $BV$ 関数が存在するか？
• RQ3 $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ に属するが $BV(a,b)$ に属さない関数を構成できるか。これにより、分数階ソボレフ空間が $BV$ よりも厳密に大きいことが示される。
• RQ4 リーマン・リウビルとガリャルドによる分数階ソボレフ空間の定義は、$L^1$-ベースの空間およびベゾフ空間との関係において、どのように関係しているか？
• RQ5 微分が特異的または滑らかでない関数、例えば $BV \setminus SBV$ に属する関数に対して、リーマン・リウビル分数階微分はどのように振る舞うか？

主な発見

• 空間 $SBV(a,b)$ は、$\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ に厳密に含まれる。これは、リーマン・リウビル定式化のもとで、すべての $s\in(0,1)$ の分数階ソボレフ空間に、特別な有界変動関数が含まれることを意味する。
• $\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ に属するが $BV(a,b)$ に属さない関数が存在する。これは、$\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+} \setminus BV \neq \emptyset$ を示しており、分数階ソボレフ空間が $BV$ よりも厳密に大きいことを証明する。
• $(0,1)$ 上で $u(x) = (\ln(x/2))^{-1}$ で定義される連続的かつ単調な関数は、任意の $\alpha\in(0,1)$ に対して Hölder 継続的でないが、$\bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ に属する。これは、分数階ソボレフ正則性が Hölder 継続性を意味しないことを示している。
• $q>1$ に対して $W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} q^{-n}(e^{iq^n x} - e^{iq^n a})$ で定義されるワイエルシュトラス型関数は、すべての $s<1$ に対して有界で連続的なリーマン・リウビル分数階微分を持つが、至る所微分不可能であるため $BV$ に属さない。これにより、$W^{s,1}_{RL,0+}$ が $BV$ に含まれないことが確認された。
• $BV(a,b) \subset \bigcap_{s\in(0,1)} W^{s,1}_{RL,0+}(a,b)$ の包含関係は未解決の問題のままであり、$BV$ と $W^{s,1}_{RL,0+}$ の完全な関係の特徴づけも、$SBV$ の交差への厳密包含関係が示されたにもかかわらず、未解決のまま残っている。
• リーマン・リウビル微分に関する結果は、その既知の関係性に基づき、カプト微分へ容易に拡張可能である。特に初期条件がゼロのとき、カプト微分はリーマン・リウビル微分に帰着するため、今後の画像処理や制御理論における変分モデルへの応用が可能になる。