[論文レビュー] Free Boundary Minimal Surfaces in the Unit Three-Ball via Desingularization of the Critical Catenoid and the Equatorial Disk

Nikolaos Kapouleas, Martin Man‐chun Li|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 33被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、特異的摂動法を用いて、臨界コネノイドと等周ディスクの交差を特異性解消することで、単位3次元球体内に新しい高 genus の自由境界 minimal 表面の族を構成する。得られる表面は3つの境界成分を持ち、コスタ＝ホフマン＝ミーカース表面の自由境界版に相当し、コネノイドとディスクの特異性解消による、このような例の初の例を提供する。

ABSTRACT

We construct a new family of high genus examples of free boundary minimal surfaces in the Euclidean unit 3-ball by desingularizing the intersection of a coaxial pair of a critical catenoid and an equatorial disk. The surfaces are constructed by singular perturbation methods and have three boundary components. They are the free boundary analogue of the Costa-Hoffman-Meeks surfaces and the surfaces constructed by Kapouleas by desingularizing coaxial catenoids and planes. It is plausible that the minimal surfaces we constructed here are the same as the ones obtained recently by Ketover using the min-max method.

研究の動機と目的

• 高 genus で境界成分が3つの埋め込み自由境界 minimal 表面を単位3次元球体内に構成すること。
• これまでR³内の完全 minimal 表面に用いられてきた特異性解消技術を、3次元球体内の自由境界設定に拡張すること。
• 同軸な臨界コネノイドと等周ディスクの特異性解消によって、コスタ＝ホフマン＝ミーカース表面の自由境界版を構成すること。
• 特異的摂動法を用いて、このような表面の存在を確立すること。これは、既存の minimal 表面の特異性解消による構成に基づく。

提案手法

• 臨界コネノイドと等周ディスクの交差部に沿って、特異的摂動法を用いてそれらを接合し、滑らかな解消表面によって鋭い特異点を解消する。
• 標準計量に一様に同値なRiemann計量上の指数写像と測地線フローを用いて、解消領域付近の幾何を制御する。
• 自由境界 minimal 表面条件を記述する非線形PDE系を解くために、逆写像定理と陰関数論を適用する。
• 指数写像およびその導関数に対する一様な$C^1$-有界性を確立し、適切に定義された局所逆写像および注釈半径の制御を保証する。
• 臨界コネノイドと等周ディスクが両方とも自由境界 minimal 表面であるという事実を活用し、解消プロセスのモデルを構築する。
• 得られた表面が埋め込まれており、境界成分が3つで、高 genus に相当する位相的性質を持つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R³内の完全 minimal 表面に用いられた特異性解消技術を、単位3次元球体内の自由境界設定に適応できるか？
• RQ2 臨界コネノイドと等周ディスクの特異性解消によって得られる、高 genus の埋め込み自由境界 minimal 表面が存在するか？
• RQ3 このような特異性解消表面が、特に境界成分と genus に関してどのような位相的・幾何的性質を持つのか？
• RQ4 本稿で構成された表面族は、ケトーバーが示唆するように、最近の min-max 法によって得られたものと同値であるか？

主な発見

• 著者らは、genus が無限大に近づくこと、かつ正確に3つの境界成分を持つ、埋め込み自由境界 minimal 表面の1パラメータ族を新たに構成した。
• 表面は、特異的摂動技術を用いて、臨界コネノイドと等周ディスクの横断的交差を特異性解消することで得られた。
• この構成により、コネノイドと平面（ディスク）の特異性解消による、高 genus の自由境界 minimal 表面が初めて得られた。これはコスタ＝ホフマン＝ミーカース表面に類似している。
• 臨界コネノイドと等周ディスクは、単位3次元球体内で回転対称な唯一の自由境界 minimal 表面であることが、補題3.9で示された。
• 得られた表面は、ケトーバーが min-max 法で得たものとおそらく同値であり、変分的および摂動的構成の間には深い関係があると考えられる。
• この方法は、指数写像に対する一様な推定と注釈半径の制御に依存しており、適切に定義された解消パッチの存在を保証する。