[論文レビュー] Free Brownian motion and free convolution semigroups: multiplicative case

Ping Zhong|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2012

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、自由畳み込み半群を用いて、単位円上の乗法的自由ブラウン運動の枠組みを確立し、劣性関係を導出し、乗法的ブールおよび自由畳み込み変換を特徴づけている。主な貢献は、測度の $Σ$-変換と乗法的自由畳み込み下での劣性関係を結ぶ関数方程式を同定することであり、これは、単位円上での乗法的自由無限可分性の設定へ、Bercovici-Pataの双対性を拡張したものである。

ABSTRACT

We consider a pair of probability measures $μ,ν$ on the unit circle such that $Σ_λ(η_ν(z))=z/η_μ(z)$. We prove that the same type of equation holds for any $t\geq 0$ when we replace $ν$ by $ν\boxtimesλ_t$ and $μ$ by $\mathbb{M}_t(μ)$, where $λ_t$ is the free multiplicative analogue of the normal distribution on the unit circle of $\mathbb{C}$ and $\mathbb{M}_t$ is the map defined by Arizmendi and Hasebe. These equations are a multiplicative analogue of equations studied by Belinschi and Nica. In order to achieve this result, we study infinite divisibility of the measures associated with subordination functions in multiplicative free Brownian motion and multiplicative free convolution semigroups. We use the modified $\mathcal{S}$-transform introduced by Raj Rao and Speicher to deal with the case that $ν$ has mean zero. The same type of the result holds for convolutions on the positive real line. We also obtain some regularity properties for the free multiplicative analogue of the normal distributions.

研究の動機と目的

• 自由畳み込み半群を用いて、単位円上での乗法的自由ブラウン運動の枠組みを構築すること。
• 単位円上での乗法的自由畳み込みの劣性関数を特徴づけること。
• 加法的自由無限可分性から乗法的自由無限可分性へ、Bercovici-Pata双対性を単位円上に拡張すること。
• 乗法的自由畳み込み下での $Σ$-変換と $η$-変換の間の関数方程式を導出すること。
• 単位円上での乗法的自由無限可分性に対して、Lévy-Hinōin型の表現を確立すること。

提案手法

• 単位円上の確率測度およびその乗法的自由畳み込みを特徴づけるために、$η$-変換と $Σ$-変換を用いる。
• 解析接続および逆関数技法を適用して、乗法的自由畳み込み下での測度間の劣性関係を導出する。
• 正則関数のHerglotz表現を用いて、$Σ$-変換を測度と実数パラメータの関数として表現する。
• 関数方程式 $k_{\mu}(z) = z / \eta_{\mu}(z)$ が、Herglotz積分の指数関数として表現可能であり、これにより無限可分性の特徴づけが可能になる。
• $H_t(z) = z \exp((t-1)u(z))$ の右逆関数を用いて、$\mu^{\boxtimes t}$ を $\eta_{\mu^{\boxtimes t}}(z) = \eta_{\mu}(\omega_t(z))$ で定義する。
• $\mu^{\boxtimes 2}$ に対する劣性関数 $\omega_2$ を用いて、測度 $\sigma = \mathbb{M}(\mu)$ を定義し、これによりBercovici-Pata双対性にリンクする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位円上での乗法的自由ブラウン運動は、劣性関数を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 測度の $\Sigma$-変換と乗法的自由畳み込み下での劣性関係との間の関数的関係は何か？
• RQ3 $k_{\mu}(z)$ 関数が、ある $\nu$ に対して $\Sigma_{\lambda}(\eta_{\nu}(z))$ の形に表現可能であるための条件は何か？
• RQ4 Bercovici-Pata双対性は、加法的設定から単位円上での乗法的自由無限可分性の設定へどのように拡張されるか？
• RQ5 平均 $m_1(\mu)$ は、$k_{\mu}(z)$ の構造および単位円上の自由正規分布との関係において、果たす役割は何か？

主な発見

• 測度 $\mu^{\boxtimes 2}$ に対する劣性関数 $\omega_2$ は $\eta_{\sigma}(z) = \omega_2(z)$ を満たし、関連する測度 $\sigma$ は $\mathbb{M}(\mu)$ に等しい。
• $\mu \in \mathcal{ID}(\boxtimes, \mathrm{T})$ に対して、関数 $H(z) = z\Sigma_{\mu}(z)$ は $\eta_{\mu}(z)$ の左逆関数であり、$H$ は単位円板を単純閉曲線で囲まれた単連結領域に写像する。
• 単位円 $\mathrm{T}$ 上の $\boxtimes$-無限可分測度の $\Sigma$-変換は、Lévy-Hinōin表現を有する：$\Sigma_{\mu}(z) = \exp\left(\alpha i + \int_{\mathrm{T}} \frac{1+\xi z}{1-\xi z} d\sigma(\xi)\right)$。
• $k_{\mu}(z) = \Sigma_{\lambda}(\eta_{\nu}(z))$ が成り立つのは、ある $\nu$ に対して成り立つとき、かつそのときに限る。この条件は、$|m_1(\mu)| = e^{-1/2}$ と同値であり、$\mu$ の平均が円上の自由正規分布と関連していることを示す。
• $1/m_1(\mu)$ の偏角は $b \in [0, 2\pi)$ に等しく、Lévy測度 $\tau$ の全 Variation は $\tau(\mathrm{T}) = \ln|1/m_1(\mu)|$ を満たし、これにより $k_{\mu}$ はHerglotz表現を用いて完全にパラメータ化される。
• $\mu \in \mathcal{M}_{\mathrm{T}}^*$ で $m_1(\mu) > 0$ のとき、関数 $u(z)$ を $k_{\mu}(z) = \exp(u(z))$ から得られる $H_t(z) = z \exp((t-1)u(z))$ の右逆関数 $\omega_t$ を用いて、測度 $\mu^{\boxtimes t}$ は適切に定義される。