[論文レビュー] Free Products of Higher Operad Algebras

Mark Weber|ArXiv.org|Sep 25, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、カテゴリに対して以前に定義された「変なテンソル積」を、n-オペラドによって制御される高次カテゴリカル構造へ一般化する。対称モノイド的モノイドおよび豊かまわりグラフマルチカテゴリを用いて、n-オペラドの代数の圏に対称モノイド的閉構造を構成し、3次元におけるグレイテンソル積に類似した帰納的定義を可能にする。

ABSTRACT

One of the open problems in higher category theory is the systematic construction of the higher dimensional analogues of the Gray tensor product of 2-categories. In this paper we continue the developments of [3] and [2] by understanding the natural generalisations of Gray's little brother, the funny tensor product of categories. In fact we exhibit for any higher categorical structure definable by an n-operad in the sense of Batanin [1], an analogous tensor product which forms a symmetric monoidal closed structure on the category of algebras of the operad.

研究の動機と目的

• 弱nカテゴリのための体系的な高次元版グレイテンソル積の開発。
• バタニンの意味におけるn-オペラドの代数へのカテゴリの「変なテンソル積」の一般化。
• モノイドおよびマルチカテゴリ理論を用いて、n-オペラドの代数の圏に対称モノイド的閉構造を確立すること。
• 自由積としての高次オペラド代数の一般化を定義・分析すること。
• 帰納的・オペラド的手法による半厳密nカテゴリの構成の理論的枠組みの提供。

提案手法

• 対称モノイド的モノイドおよび代表的マルチカテゴリの枠組みを活用し、n-オペラドの代数にテンソル積を定義する。
• Setへの関手を伴う圏から豊かまわりグラフへの2関手的割り当てを構成し、モノイド構造と整合させる。
• 分配的マルチテンソルおよび経路に類似したモノイドを用いて、マルチマップのホモトピー対象の明示的記述を提供する。
• 「マルチテンソル除去定理」を適用し、自由積をカルテジアン積と関連づけ、比較写像を導出する。
• 直線的因子分解系（例：オブジェクト上に全単射、完全忠実）を用いて、グレイテンソル積と同様に整合性データを回復する。
• 自由積構成がカルテジアン自然であり、適切に点づかれた、カルテジアンなモノイドのもとで余積と整合することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カテゴリの「変なテンソル積」は、n-オペラドによって定義される高次カテゴリカル構造へどのように一般化できるか？
• RQ2 n-オペラドの代数の圏にどのような対称モノイド的閉構造が生じるか？
• RQ3 T代数の自由積が、そのカルテジアン積への自然な比較写像をもつ条件は何か？
• RQ4 グレイテンソル積の高次元版の整合性データは、どのように体系的に導出できるか？
• RQ5 分配的マルチテンソルおよび経路に類似したモノイドは、自由積構成を明示的にする上で果たす役割は何か？

主な発見

• 任意のn-オペラドAに対して、A代数の圏は一般化された「自由積」テンソル積を介して対称モノイド的閉構造を有する。
• T代数の自由積は、オブジェクト上に全単射かつ完全忠実な因子分解を通じて、自然変換によりカルテジアン積と自然に関連づけられる。
• モノイドTが適切に点づかれており、カルテジアンかつ余積を保存する場合、自由積からカルテジアン積への比較写像はカルテジアン自然である。
• 自由積の明示的記述は、ΓE ≅ Tを満たす分配的マルチテンソルEに依存し、合成可能な射の列による具体的なホモトピー対象の記述を可能にする。
• マルチテンソル除去定理により、「セスクイ-A代数」—A代数に値をとる豊かまわり圏で、自由積をテンソルとする—のためのモノイドが構成可能であり、このモノイドが(n+1)-オペラドから生じることを示す。
• この枠組みは、整合性データが直線的因子分解系によって決定される帰納的構成法を用いた半厳密nカテゴリの完全な理論的基盤を提供する。