[論文レビュー] Free Rota-Baxter family algebras and Free (tri)dendriform family algebras

Yuanyuan Zhang, Xing Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、タイプ化された角度付き装飾付き平面根付き木を用いて、自由Rota-Baxter族代数を構成し、従来のフォレストに基づく手法とは異なる新たな実現を与える。自由Rota-Baxter族代数（重み0（resp. 非ゼロ））は、自由dendriform（resp. tridendriform）族代数の普遍包絡代数であることが示され、これらの構造が自然にRota-Baxter枠組み内に埋め込まれる。

ABSTRACT

In this paper, we first construct the free Rota-Baxter family algebra generated by some set $X$ in terms of typed angularly $X$-decorated planar rooted trees. As an application, we obtain a new construction of the free Rota-Baxter algebra only in terms of angularly decorated planar rooted trees (not forests), which is quite different from the known construction via angularly decorated planar rooted forests by K. Ebrahimi-Fard and L. Guo. We then embed the free dendriform (resp. tridendriform) family algebra into the free Rota-Baxter family algebra of weight zero (resp. one). Finally, we prove that the free Rota-Baxter family algebra is the universal enveloping algebra of the free (tri)dendriform family algebra.

研究の動機と目的

• タイプ化された角度付き装飾付き平面根付き木を用いて、自由Rota-Baxter族代数の新たな代数的構成を提供すること。
• この構成が、フォレストに基づく既存の手法とは異なる自由Rota-Baxter代数の実現をもたらすことを示すこと。
• 自由dendriform族代数と自由tridendriform族代数を、それぞれ重み0および重み1の自由Rota-Baxter族代数に埋め込むこと。
• 自由Rota-Baxter族代数が自由(dendriform/tridendriform)族代数の普遍包絡代数であることを証明すること。
• 組合せ的木モデルを通じて、Rota-Baxter、dendriform、tridendriform代数の代数的構造を族の設定で統一すること。

提案手法

• 半群 Ω で添え字づけられたタイプ化された角度付き装飾付き平面根付き木の線型空間に積を定義する。
• Rota-Baxter族語の集合を導入し、この集合からタイプ化された角度付き装飾付き平面根付き木の集合への全単射 ψ を構成する。
• 全単射 ψ と、自由(dendriform/tridendriform)族代数に関する先行研究の結果を用いて、これらの木の線型空間が自由Rota-Baxter族代数をなすことを証明する。
• タイプ化された装飾付き平面2分木の包含を用いて、自由dendriform族代数を重み0の自由Rota-Baxter族代数に埋め込む。
• タイプ化されたSchröder木の包含を用いて、自由tridendriform族代数を重み1の自由Rota-Baxter族代数に埋め込む。
• 自然な包含写像と代数的普遍性を用いて、自由Rota-Baxter族代数が自由(dendriform/tridendriform)族代数の普遍包絡代数であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由Rota-Baxter族代数は、フォレストを用いず、角度付き装飾付き平面根付き木から直接構成可能か？
• RQ2 dendriformおよびtridendriform族代数は、特定の重みを持つRota-Baxter族代数とどのように関係するか？
• RQ3 自由Rota-Baxter族代数と自由(dendriform/tridendriform)族代数の間に普遍包絡代数の関係があるか？
• RQ4 平面根付き木への2分木およびSchröder木の自然な包含が、Rota-Baxter族代数における標準的な部分代数構造を誘導するか？
• RQ5 半群 Ω は、装飾付き木を用いた自由代数の構成において、どのように機能するか？

主な発見

• 集合 X によって生成される自由Rota-Baxter族代数は、タイプ化された角度付き装飾付き平面根付き木の線型空間として実現され、フォレストに基づく構成とは独立した新しい組合せ的モデルを提供する。
• Rota-Baxter族語とタイプ化された角度付き装飾付き平面根付き木の間の全単射 ψ が確立され、自由Rota-Baxter族代数の構成が可能になる。
• タイプ化された装飾付き平面2分木の包含を用いて、自由dendriform族代数が重み0の自由Rota-Baxter族代数へ標準的な部分代数として埋め込まれる。
• タイプ化されたSchröder木の包含を用いて、自由tridendriform族代数が重み1の自由Rota-Baxter族代数へ標準的な部分代数として埋め込まれる。
• 重み λ に対して、自由Rota-Baxter族代数が、λ = 0（dendriform）または λ ≠ 0（tridendriform）のとき、自由(dendriform/tridendriform)族代数の普遍包絡代数である。
• 自然な包含写像と代数的普遍性を用いて、構成が普遍包絡性を確認し、既知の結果を族代数設定に一般化する。