[論文レビュー] From forward integrals to Wick-Itô integrals: the fractional Brownian motion and the Rosenblatt process cases

Benjamin Arras|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ヒーダ分布理論およびソボレフ＝ワタナベ＝クレ空間を用いて、分数カリエン運動およびローゼンブラット過程における正則化を介した前向き積分とウィック＝イト積分の間の厳密な関係を確立する。前向き積分の明示的分解公式を導出し、ローゼンブラット過程の場合に2つのトレース項を同定し、それらの存在およびL²収束を証明することで、ガウス型フレームワークを超えた確率積分の拡張を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we combine Hida distribution theory and Sobolev-Watanabe-Kree spaces in order to study finely the link between forward integrals obtained by regularization and Wick-Itô integrals with respect to fractional Brownian motion and the Rosenblatt process. The new methodology developed in this paper allows to retrieve results for fractional Brownian motion and to obtain new results regarding the Rosenblatt process. In particular, an Itô formula for functionals of the Rosenblatt process is obtained which holds in the space of square-integrable random variables.

研究の動機と目的

• 非マルティンググール過程（例：分数カリエン運動およびローゼンブラット過程）における前向き積分（正則化を介したもの）とウィック＝イト積分の関係を明確化すること。
• ローゼンブラット過程の場合に顕著に異なるガウス型とは異なるトレース項の体系的取り扱いの欠如に応えること。
• ヒーダ分布理論およびソボレフ＝ワタナベ＝クレ空間に基づく統一的アプローチを構築し、非ガウス型自己相似過程における確率積分を分析すること。
• 平方可積分確率変数の空間で成立するローゼンブラット過程の関数型に対するイトの公式を確立すること。

提案手法

• 積分 $ F(X^{H,d}_t)(X^{H,d}_{t+ ho} - X^{H,d}_t) $ のS変換をヒーダ分布空間 $ (S)^* $ で計算し、前向き積分の分布的解析を可能にする。
• 確率的勾配作用素およびその随伴作用素を用いて、分解の各成分が適切に定義された実確率変数であることを検証し、数学的厳密性を保証する。
• 特に $ K_t^1(t,t) $ および $ K_t^2(t,t) $ の連続性と、Lebesgueの収束定理を用いて $ L^2 $ 収束を証明する。
• カーネルのスケーリング性質を活用し、$ t^{2H-1} $ および $ t^{3H-1} $ を含む明示的積分表現を導出し、トレース項とべき関数との関連を確立する。
• 特に2次カオスであるローゼンブラット過程としてのヘルンテ過程の構造に依拠し、非ガウス型トレース寄与を分離・分析する。
• 積分作用素の強 $ L^2 $ および $ L^1 $ 収束に関する補題を用いて、正則化手続きの極限挙動を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローゼンブラット過程に対する前向き積分は、ウィック＝イト積分に加えてどのような補正項に分解可能であり、それらの性質は何か？
• RQ2 ローゼンブラット過程のイト型公式に現れる2つのトレース項の明示的形および存在条件は何か。これは分数カリエン運動の場合とは著しく異なる。
• RQ3 正則化に基づく前向き積分が、非ガウス型自己相似過程（例：ローゼンブラット過程）に対してウィック＝イト積分と厳密に結びつけられるか？
• RQ4 被積分関数の確率的微分およびカーネルが、分解におけるトレース項の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 ヒーダ分布理論およびソボレフ＝ワタナベ＝クレ空間は、さまざまなヘルンテ過程における前向き積分および発散型積分の解析を統一的に扱うのにどの程度有効に使えるか？

主な発見

• 平方可積分確率変数の空間で有効である、ローゼンブラット過程の関数型に対する明示的イトの公式が導出され、古典的イト積分の非ガウス型への拡張が達成される。
• ローゼンブラット過程の場合に現れる2つのトレース項は存在することが示され、それぞれ $ H(2H-1)\bigint_{a}^{b} K_t^1(t,t) F'(X_t^H) dt $ および $ 4\big{(}\frac{H(2H-1)}{2}\big{)}^{3/2} \bigint_{a}^{b} K_t^2(t,t) F^{(2)}(X_t^H) dt $ として明示的に表現される。後者は、3次積率 $ \frac{H}{2} \tilde{\rho}_3(X_1^H) $ を含む。
• 正則化手続きの $ L^2 $ 収束が確立され、積分作用素 $ \frac{1}{\rho} \bigint_{t}^{t+\rho} I_2(e_{s,t}^H) ds $ の極限が $ \rho \to 0^+ $ のとき $ I_2(e_{t,t}^H) $ に強く収束することが示される。
• $ K_t^1(t,t) $ を含むトレース項は $ H \bigint_{a}^{b} t^{2H-1} F'(X_t^H) dt $ に簡略化され、時間のべき関数的依存性が明確に示される。
• 2番目のトレース項は、 $ |x_1 - x_2|^{H-1} |x_2 - x_3|^{H-1} |x_3 - x_1|^{H-1} $ を含む三重積分として表されるカーネル $ K_t^2(t,t) $ と関連づけられ、非ガウス型性が裏付けられる。
• $ F^{(2)}(X_t^H) $ を含む積分の $ L^1 $ 収束が証明され、標準的な可積分性条件のもとで極限公式の有効性が保証される。