[論文レビュー] From Power Laws to Fractional Diffusion: the Direct Way

Rudolf Gorenflo, E. A. Abdel-Rehim|ArXiv.org|Dec 30, 2007

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 18被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、力尽きる待ち時間とジャンプを有する連続時間ランダムウォーク（CTRW）から、時空分数マクロ拡散方程式への直接的導出を確立する。適切にスケーリングされた極限と分布関数に対するタウバー型補題を適用することで、停留時間密度が弱収束し、時間微分の次数 β ∈ (0,1) および空間微分の次数 α ∈ (0,2) を持つ分数マクロ拡散方程式の解に収束することを示している。この方程式はミタグ・レフラー関数および分数階微分によって記述される。

ABSTRACT

Starting from the model of continuous time random walk, we focus our interest on random walks in which the probability distributions of the waiting times and jumps have fat tails characterized by power laws with exponent between 0 and 1 for the waiting times, between 0 and 2 for the jumps. By stating the relevant lemmata (of Tauber type) for the distribution functions we need not distinguish between continuous and discrete space and time. We will see that, by a well-scaled passage to the diffusion limit, generalized diffusion processes, fractional in time as well as in space, are obtained. The corresponding equation of evolution is a linear partial pseudo-differential equation with fractional derivatives in time and in space, the orders being equal to the above exponents. Such processes are well approximated and visualized by simulation via various types of random walks. For their explicit solutions there are available integral representations that allow to investigate their detailed structure.

研究の動機と目的

• 重い尾を持つ待ち時間とジャンプを有する連続時間ランダムウォーク（CTRW）と分数マクロ拡散過程との間の直接的リンクを確立すること。
• このようなCTRWの適切にスケーリングされた極限が、時間および空間の分数階微分を有する時空分数マクロ拡散方程式の解に収束することを示すこと。
• 分布関数とラプラス変換およびフーリエ変換の漸近的解析を用いて、連続的および離散的時空過程の取り扱いを統一すること。
• 補助変数や中間的スケーリングステップに依存せずに、分数マクロ拡散の出現を厳密に裏付ける基盤を提供すること。

提案手法

• CTRWのモントール＝ウエイス方程式を出発点とし、停留時間密度のラプラス変換およびフーリエ変換によって導出する。
• 待ち時間およびジャンプの累積分布関数にタウバー型補題を適用することで、連続的および離散的分布を一様に取り扱う。
• 空間的ステップサイズ h と待ち時間 τ の間のスケーリング関係 h ∝ τ^β/α を課すことにより、適切にスケーリングされた拡散極限を保証する。
• 待ち時間分布およびジャンプ分布のラプラス変換およびフーリエ変換の漸近的挙動を、指数 β ∈ (0,1) および α ∈ (0,2) を持つ力尽きる尾を持つ分布に対して分析する。
• 極限における発展方程式を、時間微分の次数 β および空間微分の次数 α のリーマン＝リーマン型微分作用素を有する線形偏擬微分方程式として導出する。
• ミタグ・レフラー関数を含む積分表現を用いて解を特徴付け、それが分数マクロ拡散過程に収束することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 力尽きる尾を持つ待ち時間とジャンプを有する適切にスケーリングされた連続時間ランダムウォークの極限が、分数マクロ拡散過程を生成するか。
• RQ2 空間的および時間的増分の間のどのスケーリング関係が、時空分数マクロ拡散方程式への収束を保証するか。
• RQ3 分布関数およびラプラス変換およびフーリエ変換の漸近的解析を用いて、収束をどのように厳密に確立できるか。
• RQ4 ミタグ・レフラー関数は、分数マクロ拡散方程式の極限解を特徴付ける際に果たす役割は何か。
• RQ5 標準的なCTRWフレームワークにおいて、力尽きる待ち時間を持つが、適切にスケーリングされない場合にはなぜ分数マクロ拡散が得られないのか。

主な発見

• スケーリングされたCTRWの停留時間密度は、弱収束し、時間微分の次数 β ∈ (0,1) および空間微分の次数 α ∈ (0,2) を持つ時空分数マクロ拡散方程式の解に収束する。
• 極限方程式は、キャプート型時間分数微分およびリエス空間分数微分で与えられる：$ {}_0^C D_t^eta u(x,t) = R^eta u(x,t) $、初期条件 $ u(x,0) = ho(x) $。
• 解は、力尽きる尾を持つ待ち時間分布のラプラス変換から自然に生じるミタグ・レフラー関数を用いて明示的に表現される。
• 収束は、分布関数に対するタウバー補題を用いて確立され、離散的および連続的分布を統一的な枠組みで取り扱える。
• 補助変数を用いずに、CTRWの遷移確率のスケーリング極限を直接分析することで、必要最小限の仮定で済ませる。
• 結果として、分数マクロ拡散が任意のべき則から生じるのではなく、空間的および時間的増分の間の特定の適切なスケーリング関係が成立する場合にのみ出現することが確認された。