[論文レビュー] From WZW models to Modular Functors

Eduard Looijenga|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、点付き曲線のモジュライスタック上の決定的線分束に関連する ${\mathbb{G}}_m$-バンドル上に、Wess-Zumino-Witten (WZW) モデルを座標に依存しない代数幾何的構成として与える。WZW接続の平坦性を確立し、その因子化性質を導出し、物理的フォーマリズム（演算子積展開やティヒミュラー理論など）に依存せずに、代数幾何学およびアフィンリー代数の表現論のみを用いて、セガールの意味でのモジュラー関手が得られることを示す。

ABSTRACT

In this survey paper (which supersedes our earlier arXiv preprint math.AG/0507086) we give a relatively simple and coordinate free description of the WZW model as a local system whose base is a G_m-bundle on the moduli stack of pointed curves. We derive its main properties and show how it leads to a modular functor in the spirit of Graeme Segal (except for unitarity). The approach presented here is almost purely algebro-geometric in character; it avoids the Boson-Fermion correspondence, operator product expansions as well as Teichmueller theory.

研究の動機と目的

• 点付き曲線のモジュライスタック上の ${\mathbb{G}}_m$-バンドル上に、WZWモデルを座標に依存しない代数幾何的記述として局所系統として与えること。
• WZW接続の平坦性およびその因子化性質を、代数幾何学およびアフィンリー代数の表現論のみを用いて導出すること。
• 得られる系が、ボソン-フェルミオン対応やティヒミュラー理論などの物理的道具を用いずに、セガールの意味でのモジュラー関手を定義することを示すこと。
• WZWモデルを介したグローバルな代数幾何的構成と局所的な conformal field theory のアプローチとの同値性を確立し、接続および Verlinde 空間が一致することを確認すること。

提案手法

• WZWモデルは、リーマン面 $C$ 上の $G$-バンドルのモジュライスタック上の決定的線分束に関連する ${\mathbb{G}}_m$-バンドル上に局所系統として構成される。
• Verlinde 空間 ${\mathbb{H}}_{\ell}(G)_C$ は、決定的線分束の $\ell$ 乗テンソル積の切断の空間として実現され、平坦な射影接続を持つ。
• マスロフ指数を用いて、曲面 $\Sigma$ の写像類群の中心拡大が構成され、中心元 $2(\ell + \check{h})$ が、ラグランジュングラスマンニアンの普遍被覆への引き戻しの切断空間上で自明に作用する。
• 曲面への接合操作は、接合された曲面のラグランジュングラスマンニアンを元の曲面のそれへ埋め込むことで形式化され、ペア・オブ・パンツ分解を介して局所系統の分解が可能になる。
• デーンねじれの局所系統上への作用は、スカラー乗算 $\exp\big{(}-\frac{\pi\sqrt{-1}c_{\mu}}{\ell+\check{h}}\big{)}$ として計算され、モジュラー関手と量子群表現が結びつく。
• 本構成は、物理的フォーマリズム（演算子積展開やティヒミュラー理論など）を避けて、モジュライスタック、決定的線分束、シンプレクティック格子の幾何学のみを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 WZWモデルは、物理的場理論の道具に依存せずに、座標に依存しない代数幾何的枠組みでどのように記述できるか？
• RQ2 代数幾何学によって構成された Verlinde バンドルと、 conformal field theory における WZW 接続との間の明確な関係は何か？
• RQ3 リーマン面への接合操作は、関連する局所系統および Verlinde 空間上の代数的構造にどのように翻訳されるか？
• RQ4 写像類群の中心拡大がモジュラー関手を実現する上で果たす役割は何か？
• RQ5 WZW モデルの因子化性およびモノドロミー性質を用いて、ペア・オブ・パンツ分解からモジュラー関手の完全な構造を回復できるか？

主な発見

• WZWモデルは、$G$-バンドルのモジュライスタック上の ${\mathbb{G}}_m$-バンドル上に局所系統として構成され、底空間は $H_1(C;\mathbb{Z})$ のラグランジュ部分格子によってパrameter化される。
• Verlinde バンドルには平坦な射影接続が持ち、theta 関数が満たす熱方程式を用いて平坦性が確立され、ムムフォードの観察の一般化である。
• 写像類群は、$\mathbb{Z}$ による中心拡大を介して局所系統に作用し、中心元 $2(\ell + \check{h})$ は、引き戻しの切断空間上で自明に作用する。これは、シンプレクティック群の普遍中心拡大と整合的である。
• 接合性質により、接合された曲面 $\Sigma_\phi$ の局所系統は、元の曲面の局所系統の直和に同定され、表現 $\lambda$ および $\lambda^*$ によって添え字づけられ、ラグランジュングラスマンニアンの埋め込みを通じて制限される。
• 接合された境界成分に沿ったデーンねじれの作用は、対応する直和成分上でスカラー乗算 $\exp\big{(}-\frac{\pi\sqrt{-1}c_{\mu}}{\ell+\check{h}}\big{)}$ として作用し、モジュラー関手と量子群の融合規則が結びつく。
• 基本的構成要素としての3つの穴を持つ球面を用いて、ペア・オブ・パンツ分解から局所系統全体を再構成でき、融合環構造を用いた Verlinde 公式の形式的導出が得られる。