[論文レビュー] Frozen Pipes: Lattice Models for Grothendieck Polynomials

Ben Brubaker, Claire Frechette+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、可解格子模型の分配関数として二軸二重$(\beta,q)$-グロテンディーク多項式を導入し、量子可積分系と代数的K理論の間の関係を確立する。Yang-Baxter方程式および$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1})$ R行列のDrinfeld捩じれを用いて、二重$\beta$-グロテンディーク多項式の新しいコーシー恒等式と分岐則を証明し、Fomin-Kirillovの結果を一般化する。

ABSTRACT

We introduce families of two-parameter multivariate polynomials indexed by pairs of partitions $v,w$ -- biaxial double $(β,q)$-Grothendieck polynomials -- which specialize at $q=0$ and $v=1$ to double $β$-Grothendieck polynomials from torus-equivariant connective K-theory. Initially defined recursively via divided difference operators, our main result is that these new polynomials arise as partition functions of solvable lattice models. Moreover, the associated quantum group of the solvable model for polynomials in $n$ pairs of variables is a Drinfeld twist of the $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1})$ $R$-matrix. By leveraging the resulting Yang-Baxter equations of the lattice model, we show that these polynomials simultaneously generalize double $β$-Grothendieck polynomials and dual double $β$-Grothendieck polynomials for arbitrary permutations. We then use properties of the model and Yang-Baxter equations to reprove Fomin-Kirillov's Cauchy identity for $β$-Grothendieck polynomials, generalize it to a new Cauchy identity for biaxial double $β$-Grothendieck polynomials, and prove a new branching rule for double $β$-Grothendieck polynomials.

研究の動機と目的

• 二重$\beta$-グロテンディーク多項式を一般化する、2パラメータの多変数多項式族を、2つの整数分割のペアによって添え字づけること。
• これらの多項式が、量子群構造を有する可解格子模型の分配関数として生じることを示すこと。
• 格子模型のYang-Baxter方程式を用いて、K理論的シューベルティング計算における新しい恒等式および構造的結果を導出すること。
• Fomin-Kirillovのコーシー恒等式を再証明し、二重$\beta$-グロテンディーク多項式の分岐則を確立すること。

提案手法

• 差分作用素を用いて、二軸二重$(\beta,q)$-グロテンディーク多項式を再帰的に定義する。
• その分配関数が二軸二重多項式に一致する可解格子模型を構成する。
• モデルの量子群を、$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1})$ R行列のDrinfeld捩じれとして同定する。
• Yang-Baxter方程式を用いて、多項式の組み合わせ的恒等式および構造的性質を導出する。
• 図式的計算および格子模型の対称性を用いて、恒等式および分岐則を証明する。
• モデルの構造を活用して、Fomin-Kirillovのコーシー恒等式を再証明し、一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重$\beta$-グロテンディーク多項式とその双対を、可解格子模型を通じてどのように統一できるか？
• RQ2 二軸二重$\beta$-グロテンディーク多項式の可解格子模型の背後にある量子群構造は何か？
• RQ3 格子模型のYang-Baxter方程式を用いて、二軸二重$\beta$-グロテンディーク多項式の新しいコーシー恒等式を導出できるか？
• RQ4 二重$\beta$-グロテンディーク多項式の分岐則は何か？ また、それはどのように格子模型から生じるか？
• RQ5 格子模型の分配関数は、K理論的シューベルティング計算の構造定数をどのように符号化しているか？

主な発見

• 二軸二重$(\beta,q)$-グロテンディーク多項式が、$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1})$ R行列のDrinfeld捩じれを持つ可解格子模型の分配関数として実現されることを示した。
• 格子模型のYang-Baxter方程式を用いて、二軸二重$\beta$-グロテンディーク多項式の新しいコーシー恒等式を証明した。
• 図式的計算と格子模型の枠組みを用いて、Fomin-Kirillovのコーシー恒等式を再証明した。
• 二重$\beta$-グロテンディーク多項式の分岐則を確立した：$\mathcal{G}^{(\beta)}_w(\mathbf{x};\mathbf{y}) = \sum_{v \in I_w} \left(\prod_{i=1}^n d_i\right) \mathcal{G}^{(\beta)}_{v^{-}}(x_2,\ldots,x_n; y_1,\ldots,y_{n-1})$、ここで$d_i$は$w(i)$と$v(i+1)$の比較に依存する。
• グラスマンニアン置換に対して、条件$w_{\min} \leq_L v \leq_L w_{\max}$は、分割$\lambda_w$と$\lambda_v$の入れ違い条件と同値である。