[論文レビュー] FRW cosmological models with integrable and nonintegrable differential equations of state

Shynaray Myrzakul, Kuralay Esmakhanova+3 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2011

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、微分方程式の状態方程式を用いて可積分および非可積分なFRW宇宙論的モデルを構築し、重力的力学にパンルヴェ方程式を埋め込む。いくつかの可積分モデルに対して正確な解を提示し、g-エッセンス、k-エッセンス、f-エッセンスの枠組みへと結果を拡張し、ダークエネルギーおよび修正重力の状況における新しい解析的解を提供する。

ABSTRACT

The basic models of modern cosmology work in FRW spacetime. Hence follows that it is important to study the physical and mathematical nature of FRW cosmological models. In this work, we consider FRW models with the differential equations of state. Some new classes integrable and nonintegrable FRW cosmological models were constructed. It is remarkable that all proposed integrable and nonintegrable FRW models admit exact solutions. For some of them, such exact solutions are presented. Some artificial two-dimensional FRW models were also proposed. Finally in Appendix, we extend the obtained results for g-essence models and for its two reductions: k-essence and f-essence.

研究の動機と目的

• 微分方程式の状態方程式を用いたFRW宇宙論的モデルの可積分性を調査すること。
• 宇宙定数問題や微調整問題といった、ダークエネルギーモデルにおける未解決の問題に対処すること。
• パンルヴェ方程式のような可積分方程式を重力的枠組みに埋め込むことにより、FRWモデルの正確な解を構築すること。
• g-エッセンス、k-エッセンス、f-エッセンスのモデルへと結果を拡張し、スカラー-テンソル重力のための新しい解析的構造を提供すること。
• 標準的宇宙論的力学の数学的拡張として、人工的な二次元FRWモデルを提案すること。

提案手法

• 可積分微分方程式（特にパンルヴェI〜VI方程式）をフレドーリッヒ方程式に埋め込むための埋め込み法を用いる。
• 重力方程式を簡略化するために、FRW時空におけるハッブルパラメータH(t)とスケール因子a(t)を用い、k=Λ=0および8πG=1とする。
• エネルギー密度ρと圧力pのための埋め込まれたパンルヴェ型微分方程式を解くことにより、可積分モデルの正確な解を導出する。
• 複数の時間依存場を含むように動的変数を一般化することにより、D-モデルおよび人工的二次元モデルを構築する。
• g-エッセンスに拡張する際、ラグランジアンK(X,Y)を定義し、Kが変数X, Y, H, a, Nにおいてパンルヴェ方程式を満たすようにE_I–E_VIモデルを構築する。
• Y=0またはK=K(X)とすることでg-エッセンスをk-エッセンスおよびf-エッセンスに還元し、これらの状況における対応するパンルヴェ型方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分微分方程式の状態方程式は、FRW宇宙論的モデルにおいて正確な解を導くことができるか？
• RQ2 非可積分微分方程式の状態方程式は、FRW宇宙論の力学にどのように影響を与えるか？
• RQ3 パンルヴェ方程式をフレドーリッヒ方程式に埋め込むことは、宇宙論的解にどのような意味を持つのか？
• RQ4 複数の運動項を有するg-エッセンスモデルは、どのようにk-エッセンスおよびf-エッセンスに還元可能であり、その結果として得られる可積分構造は何か？
• RQ5 本研究で構築された人工的二次元FRWモデルの数学的および物理的性質は何か？

主な発見

• 提案された微分方程式の状態方程式を用いたすべての可積分FRWモデルは、パンルヴェ方程式の埋め込みによって正確な解析的解を有することが示された。
• g-エッセンスのためのE_I–E_VIモデルは、ラグランジアンKがt, a, H, X, Y, Nなどの変数においてパンルヴェI–VI方程式を満たすように要求することで構築された。
• 1.0-EoSにおけるK_I–K_VIモデルでは、パンルヴェ型方程式を用いて正確な解が導出され、H(t)からρ(t)およびp(t)の特定の形が得られた。
• D-モデルは0.5-および1.0-EoSモデルの一般化として構築され、状態方程式の微分方程式を用いて可積分および非可積分なバージョンが導出された。
• 2つの独立した時間依存場を含むように動的変数を拡張することで、人工的二次元FRWモデルが提案され、新たな解構造が可能になった。
• g-エッセンスのk-エッセンスおよびf-エッセンスへの還元は、それぞれY=0またはK=K(X)とすることで達成され、XまたはHの関数としてのラグランジアンのための新しいパンルヴェ型方程式が得られた。