[论文解读] Fully Online Matching II: Beating Ranking and Water-filling

Zhiyi Huang, Zhihao Gavin Tang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2020

Optimization and Search Problems参考文献 22被引用 5

一句话总结

本论文提出了两种新颖算法——用于二分图整数匹配的平衡排序（Balanced Ranking）与用于一般图分数匹配的积极注水法（Eager Water-filling），在完全在线匹配模型中优于经典的排序算法（Ranking）与注水算法（Water-filling）。通过将注水法的洞见融入整数算法，并在分数设定中实现早期匹配，作者分别实现了 0.569 和 0.592 的竞争比，突破了先前的理论界限。

ABSTRACT

Karp, Vazirani, and Vazirani (STOC 1990) initiated the study of online bipartite matching, which has held a central role in online algorithms ever since. Of particular importance are the Ranking algorithm for integral matching and the Water-filling algorithm for fractional matching. Most algorithms in the literature can be viewed as adaptations of these two in the corresponding models. Recently, Huang et al.~(STOC 2018, SODA 2019) introduced a more general model called \emph{fully online matching}, which considers general graphs and allows all vertices to arrive online. They also generalized Ranking and Water-filling to fully online matching and gave some tight analysis: Ranking is $Ω\approx 0.567$-competitive on bipartite graphs where the $Ω$-constant satisfies $Ωe^Ω= 1$, and Water-filling is $2-\sqrt{2} \approx 0.585$-competitive on general graphs. We propose fully online matching algorithms strictly better than Ranking and Water-filling. For integral matching on bipartite graphs, we build on the online primal dual analysis of Ranking and Water-filling to design a $0.569$-competitive hybrid algorithm called Balanced Ranking. To our knowledge, it is the first integral algorithm in the online matching literature that successfully integrates ideas from Water-filling. For fractional matching on general graphs, we give a $0.592$-competitive algorithm called Eager Water-filling, which may match a vertex on its arrival. By contrast, the original Water-filling algorithm always matches vertices at their deadlines. Our result for fractional matching further shows a separation between fully online matching and the general vertex arrival model by Wang and Wong (ICALP 2015), due to an upper bound of $0.5914$ in the latter model by Buchbinder, Segev, and Tkach (ESA 2017).

研究动机与目标

• 为克服在完全在线匹配模型中排序算法（Ranking）与注水算法（Water-filling）的理论局限性，二者此前被认为是最优的。
• 设计一种混合整数算法，将注水法的优势整合进排序框架，适用于二分图。
• 开发一种分数算法，允许在截止时间前尽早匹配（eager matching），打破此前仅在截止时间匹配的限制。
• 建立严格优于已知界限 Ω ≈ 0.567（排序算法）与 2−√2 ≈ 0.585（注水算法）的竞争比。
• 通过展示后者在一般顶点到达模型中存在更高的上界，揭示完全在线模型与一般顶点到达模型之间的分离性。

提出的方法

• 提出平衡排序（Balanced Ranking），一种结合排序算法随机排列与注水法匹配优先级的混合算法，采用在线对偶规划分析方法。
• 引入积极注水法（Eager Water-filling），一种分数算法，允许顶点在到达时立即与匹配度最低的可用邻居匹配，而非等待其截止时间。
• 使用函数 h: [0,1] → [0,1] 建模逆累积匹配概率，其中 f = h⁻¹ 用于确定匹配阈值。
• 利用因子揭示线性规划推导出满足对偶可行性与竞争比约束的函数 h。
• 应用在线对偶规划框架，推导出满足所有顶点到达顺序下近似对偶可行性的对偶变量 α_v 与 α_u。
• 推导并最小化两个关键表达式：一个用于 v 在 u 之前到达的情况，另一个用于 u 在 v 之前到达的情况，以确保在所有情况下均满足对偶可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完全在线匹配模型中，是否可能设计出一种整数在线匹配算法，其竞争比严格优于二分图中排序算法约 0.567 的界限？
• RQ2 在完全在线匹配模型中，是否可能设计出一种分数在线匹配算法，其竞争比超过一般图中注水算法 2−√2 ≈ 0.585 的界限？
• RQ3 是否可能设计一种允许顶点提前（积极）匹配的完全在线匹配算法？这种设计是否能提升竞争力？
• RQ4 完全在线模型是否允许优于一般顶点到达模型的竞争比？后者在分数匹配中存在 0.5914 的上界。
• RQ5 是否可将在线对偶规划方法扩展至统一框架中，整合排序算法与注水法的思想？

主要发现

• 所提出的平衡排序算法在二分图整数匹配中实现了 0.569 的竞争比，超越了排序算法此前已知的最佳界限 Ω ≈ 0.567。
• 积极注水法在一般图分数匹配中实现了 0.592 的竞争比，超过原始注水算法的 2−√2 ≈ 0.585 竞争比。
• 引理 4.4 中不等式 (7)、(8) 与 (9) 所要求的函数 h 存在，证实了对偶变量在竞争比分析中的可行性。
• 积极注水法 0.592 的竞争比表明其与一般顶点到达模型存在严格分离，后者在分数匹配中存在 0.5914 的上界。
• 结果表明，完全在线模型中的整数与分数算法均可超越其经典对应算法的性能，挑战了认为排序与注水算法为最优的假设。
• 分析确认，在所定义的对偶变量下，反向弱对偶性成立等式，验证了所用在线对偶规划框架的正确性。