[論文レビュー] Functional law of large numbers and PDEs for epidemic models with infection-age dependent infectivity

Guodong Pang, Étienne Pardoux|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2021

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、感染期間に依存する感染性を有する非マルコフ型エピデミックモデルに対して、関数的大数の法則（FLLN）を確立し、極限動的挙動が確定的ボルテラ積分方程式によって記述されることを示している。さらに、正則性条件下では、ボルテラ方程式によって定義される境界条件を有する偏微分方程式（PDE）によって記述されることを示している。主な貢献は、一般の感染期間分布を許容する個体ベースの確率過程からPDEに基づく巨視的モデルを厳密に導出したことにある。

ABSTRACT

We study epidemic models where the infectivity of each individual is a random function of the infection age (the elapsed time of infection). To describe the epidemic evolution dynamics, we use a stochastic process that tracks the number of individuals at each time that have been infected for less than or equal to a certain amount of time, together with the aggregate infectivity process. We establish the functional law of large numbers (FLLN) for the stochastic processes that describe the epidemic dynamics. The limits are described by a set of deterministic integral equations, which has a further characterization using PDEs under some regularity conditions. The solutions are characterized with boundary conditions that are given by a system of Volterra equations. We also characterize the equilibrium points for the PDEs in the SIS model with infection-age dependent infectivity. To establish the FLLNs, we employ a useful criterion for weak convergence for the two-parameter processes together with useful representations for the relevant processes via Poisson random measures.

研究の動機と目的

• 感染期間に依存する感染性を有するエピデミックモデルのための厳密な数学的枠組みを構築すること。
• 感染期間の一般分布を許容するように、古典的SIR/SISモデルをマルコフ的仮定を超えて拡張すること。
• 感染期間と集団的感染性を追跡する2パラメータの確率過程に対する関数的大数の法則（FLLN）を確立すること。
• ボルテア型積分方程式を用いて極限の決定的動的挙動を特徴づけ、正則性条件下では境界条件がボルテア方程式によって与えられる偏微分方程式（PDE）を用いること。
• 感染期間に依存する感染性を有するSISモデルにおける均衡点を分析すること。

提案手法

• 個体の感染性を、感染期間に依存する右連続で左極限を有する（càdlàg）、有界でi.i.d.な確率的関数として定式化し、潜伏期間を許容する。
• 時刻tにおける感染期間 ≤ x である感染者数を追跡する2パラメータの確率過程を定義する。
• 個体ベースの確率的モデルにおける感染の到来と進化をポアソン確率測度を用いて表現する。
• 2パラメータ過程のための基準を用いて、スケーリングされた確率過程の弱収束を確立する。
• 極限を、確定的ボルテア積分方程式系の解として導出する。
• 正則性条件下で、感染者の密度がボルテア積分方程式によって定義される境界条件を有する1階偏微分方程式（PDE）に従って進化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模集団における感染期間に依存する感染性を有するエピデミックモデルの動的挙動は、どのように記述できるか？
• RQ2 集団的感染性と感染期間を追跡する確率過程が、集団規模が無限大に近づく際の極限挙動は何か？
• RQ3 極限過程が偏微分方程式（PDE）を満たすための条件は何か？
• RQ4 PDEの境界条件は、感染期間に依存する感染性および回復プロセスをどのように定義するか？
• RQ5 感染期間に依存する感染性を有するSISモデルにおける均衡解は何か？

主な発見

• 2パラメータ確率過程に対する関数的大数の法則（FLLN）が成立し、極限は確定的ボルテア型積分方程式系を満たす。
• 正則性条件下で、感染者の極限密度は、ボルテア積分方程式によって定義される境界条件を有する1階偏微分方程式（PDE）に従って進化する。
• 集団的感染性プロセスは、極限の感染期間分布に対する平均感染性関数の積分に収束する。
• 定数感染性を有する古典的SIRモデルの場合、PDEはよく知られたケルマック＝マケンドリックPDEに簡略化される。
• 感染期間に依存する感染性を有するSISモデルの均衡点は、PDEの境界条件から導かれるボルテア方程式系を解くことで特徴づけられる。
• 極限過程は時間に関して連続であり、確率過程の極限への収束は局所的に一様である。