[論文レビュー] Fusion of Hamiltonian loop group manifolds and cobordism

Eckhard Meinrenken, Chris Woodward|ArXiv.org|Jul 24, 1997

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、3つの穴あき球面上の平坦接続のモジュライ空間と、トーリック多様体の直和との間に、境界成分上でシンプレクティック形式に制限される閉2形式を備えた、向き付けられたコボルディズムを構成する。この構成により、等長的積分を用いて混合ポントリャーギン数およびウィッテンのシンプレクティック体積の公式が得られる。

ABSTRACT

We construct an oriented cobordism between moduli spaces of flat connections on the three holed sphere and disjoint unions of toric varieties, together with a closed two-form which restricts to the symplectic forms on the ends. As applications, we obtain formulas for mixed Pontrjagin numbers and Witten's formulas for symplectic volumes.

研究の動機と目的

• 3つの穴あき球面上の平坦接続のモジュライ空間とトーリック多様体との間の幾何的関係を、コボルディズムを用いて確立すること。
• 境界成分上でシンプレクティック形式に制限される、コボルディズム上に閉2形式を構成すること。
• この構成を用いて、混合ポントリャーギン数およびウィッテンのシンプレクティック体積の公式を計算すること。
• ハミルトニアン・ループ群多様体の文脈において、等長的コホモロジー技法を拡張すること。
• 幾何的コボルディズムを通じて、モジュライ空間の位相的不変量を統一的に理解する枠組みを提供すること。

提案手法

• ハミルトニアン・ループ群多様体上の融合構成を用いて、境界成分間のコボルディズムを生成する。
• 等長的コホモロジーおよび局在化技術を用いて、特徴的類および不変量を分析する。
• ループ群作用の文脈でアティヤ＝ボットの局在化公式を適用し、積分を計算する。
• コボルディズム上に、トーリック多様体の端部で標準的シンプレクティック形式に制限される閉2形式を構成する。
• 3つの境界成分を持つ曲面としての3つの穴あき球面の構造を用いて、コボルディズムを定義する。
• 3つの穴あき球面上の平坦接続のモジュライ空間が、有限次元のシンプレクティック商に微分同相であるという事実を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3つの穴あき球面上の平坦接続のモジュライ空間と、トーリック多様体の直和との間にコボルディズムを構成できるか？
• RQ2 このコボルディズム上に、境界成分上でシンプレクティック形式に制限される閉2形式が存在するか？
• RQ3 この幾何的構成を用いて、混合ポントリャーギン数を計算できるか？
• RQ4 ウィッテンのシンプレクティック体積の公式は、このコボルディズムフレームワークから導出可能か？
• RQ5 ハミルトニアン・ループ群作用は、シンプレクティック幾何学における位相的不変量の計算をどのように支援するか？

主な発見

• 3つの穴あき球面上の平坦接続のモジュライ空間と、トーリック多様体の直和との間に、自然な向き付けられたコボルディズムが構成された。
• コボルディズムは、トーリック多様体成分上で標準的シンプレクティック形式に制限される閉2形式を備えている。
• 混合ポントリャーギン数は、コボルディズム上の等長的積分を用いて計算された。
• ウィッテンのシンプレクティック体積の公式は、コボルディズムおよび局在化技術の結果として導出された。
• ハミルトニアン・ループ群多様体上の融合構成は、シンプレクティック体積の公式の幾何的実現を提供する。
• この手法により、等長的コホモロジー、ループ群幾何学、および古典的特徴的類が、シンプレクティックトポロジーの文脈で統合された。