[論文レビュー] G-Global Homotopy Theory and Algebraic K-Theory

Tobias Lenz|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、古典的等置的ホモトピー理論とシュヴェーデのグローバルホモトピー理論を統合する枠組みとしてGグローバルホモトピー理論を確立し、群作用を伴う小さな対称モノイド圏における代数的K理論の統一的取り扱いを可能にする。中心的な結果は、Gグローバル代数的K理論が連結Gグローバル安定ホモトピー理論をモデル化することを示しており、チモトンの非等置的定理を一般化し、グローバルおよび等置的K理論の枠組みを統一する。

ABSTRACT

We develop the foundations of $G$-global homotopy theory as a synthesis of classical equivariant homotopy theory on the one hand and global homotopy theory in the sense of Schwede on the other hand. Using this framework, we then introduce the $G$-global algebraic $K$-theory of small symmetric monoidal categories with $G$-action, unifying $G$-equivariant algebraic $K$-theory, as considered for example by Shimakawa, and Schwede's global algebraic $K$-theory. As an application of the theory, we prove that the $G$-global algebraic $K$-theory functor exhibits the category of small symmetric monoidal categories with $G$-action as a model of connective $G$-global stable homotopy theory, generalizing and strengthening a classical non-equivariant result due to Thomason. This in particular allows us to deduce the corresponding statements for global and equivariant algebraic $K$-theory.

研究の動機と目的

• Gグローバルホモトピー理論の体系的基盤を構築し、グローバルおよびG等置的ホモトピー理論を統一する。
• G作用を伴う小さな対称モノイド圏におけるGグローバル代数的K理論を定義し、その性質を考察する。
• チモトンの非等置的結果（代数的K理論が連結安定ホモトピー理論をモデル化する）を等置的設定に一般化する。
• Gグローバル代数的K理論が、G作用を伴う対称モノイド圏の圏を連結Gグローバル安定ホモトピー理論のモデルとして実現することを確立する。
• グローバル代数的K理論（シュヴェーデ）およびG等置的代数的K理論（島川）の既存理論を、単一の枠組みで統合する。

提案手法

• モノイド作用と図式空間を用いてGグローバルホモトピー理論を構成し、適切な「なめらかさ」条件を導入して等置的構造が適切に振る舞うことを保証する。
• GグローバルΓ空間を構築し、図式空間モデルと比較することで、整合的な可換性を確立する。
• 抽象ホモトピー理論における準局所化技術をモデル圏に適用し、ルリエの組合せ的モデル構造定理を活用する。
• 左正則かつ組合せ的モデル構造を用い、有限列挙のコロイドがホモトピー的であるようにし、弱同値の持ち上げと拡張を可能にする。
• 理論を適用して、Gグローバル代数的K理論が、G作用を伴う対称モノイド圏の圏の準局所化であることを示す。
• GグローバルスペクトラとG等置的スペクトラの比較を確立し、前者が左および右のボウスフィールド局所化を両方持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群Gに対して、グローバルおよびG等置的ホモトピー理論を、単一の整合的枠組みに統合する方法は何か？
• RQ2 G作用を伴う小さな対称モノイド圏に対する正しいGグローバル代数的K理論の概念は何か？
• RQ3 Gグローバル代数的K理論は、チモトンの非等置的結果を一般化して、連結Gグローバル安定ホモトピー理論をモデル化するか？
• RQ4 GグローバルスペクトラとG等置的スペクトラの関係は何か？それらのホモトピー圏間の随伴関係は？
• RQ5 GグローバルΓ空間理論は、図式空間モデルと効果的に比較可能か？その結果、整合的な可換性に何が意味するか？

主な発見

• Gグローバル代数的K理論は、G作用を伴う小さな対称モノイド圏の圏を、連結Gグローバル安定ホモトピー理論のモデルとして実現する。これはチモトンの古典的結果を一般化する。
• Gグローバル代数的K理論関手は準局所化である。これは、G作用を伴う対称モノイド圏から、安定なGグローバル不変量を一意に抽出する普遍的な方法を提供する。
• 理論はG等置的ホモトピー理論への忘却関手を備え、その左および右随伴がともに完全忠実であり、右および左ボウスフィールド局所化をもたらす。
• 任意の有限群Gに対して、Gグローバルホモトピー理論は、Gが自明なときグローバルホモトピー理論を回復し、局所化によってG等置的ホモトピー理論をも回復する。
• 適切ななめらかさ条件の下で、GグローバルΓ空間モデルは図式空間モデルと同値であり、整合的な可換構造が確立される。
• G作用を伴う対称モノイド圏の圏に、左正則かつ組合せ的モデル構造を構成する。弱同値は有限列挙と押し出しに沿ったコフibrationに対して閉じている。