[論文レビュー] Gamma Tilting Calculus for GGC and Dirichlet means with applications to Linnik processes and Occupation Time Laws for Randomly Skewed Bessel Processes and Bridges

Lancelot F. James|ArXiv.org|Oct 6, 2006

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、一般化されたガンマ畳み込み（GGC）およびディリクレ過程の平均関数へのガンマチルティング微積分を構築し、正のリニク分布と確率的スケーリングされたベッセル過程およびブリッジの滞在時間の間で分布的同等性を確立する。主な貢献は、p-スケーリングされたベッセル過程の滞在時間が、非自明な確率的スケーリングされた過程の滞在時間と分布的に同等であることを証明したことであり、これにより安定な補助過程およびGGC補助過程を用いた明示的な密度式と恒等式が得られる。

ABSTRACT

This paper develops some general calculus for GGC and Dirichlet process means functionals. It then proceeds via an investigation of positive Linnik random variables, and more generally random variables derived from compositions of a stable subordinator with GGC subordinators, to establish various distributional equivalences between these models and phenomena connected to local times and occupation times of what are defined as randomly skewed Bessel processes and bridges. This yields a host of interesting identities and explicit density formula for these models. Randomly skewed Bessel processes and bridges may be seen as a randomization of their p-skewed counterparts developed in Barlow, Pitman and Yor (1989) and Pitman and Yor (1997), and are shown to naturally arise via exponential tilting. As a special result it is shown that the occupation time of a p-skewed random Bessel process or (generalized) bridge is equivalent in distribution to the occupation time of a non-trivial randomly skewed process.

研究の動機と目的

• GGCおよびディリクレ過程の平均関数への一般化された微積分を構築すること、特にガンマチルティングおよびスケーリング操作を通じて。
• 安定補助過程およびGGC補助過程を用いて、正のリニク確率変数の新しい分布的恒等式を確立すること。
• 指数的チルティングを用いて、p-スケーリングされたベッセル過程およびブリッジの局所時間および滞在時間と、新たなクラスの確率的スケーリングされた過程を結びつけること。
• スケーリングされたベッセル過程およびブリッジにおける滞在時間分布の明示的密度式および分布的同等性を導出すること。
• p-スケーリングされたベッセル過程の滞在時間が、非自明な確率的スケーリングされた過程の滞在時間と分布的に同等であることを示すこと。

提案手法

• ラプラス変換およびトーリン測度を用いて、ディリクレ平均関数およびGGC確率変数に対するガンマチルティング微積分を構築する。
• GGC確率変数をガンマ過程の線形関数として表現することで、それらをディリクレ過程の平均に関連付ける。
• 指数的チルティングを用いて、確率的スケーリングされたベッセル過程およびブリッジを定義し、それらがGGC分布をとる補助過程から自然に生じることを示す。
• i.i.d. $ \alpha $-安定確率変数に対して $ X_{\alpha} = S_{\alpha}/S'_{\alpha} $ という恒等式を用い、$ X_{\alpha} $ がディリクレ平均関数的であることを示す。
• 安定補助過程およびGGC補助過程の性質を用いて、一般化されたディリクレ平均関数のスケーリングおよび変換則を導出する。
• ピットマンとヨル（1992, 1997）の局所時間および滞在時間に関する結果を応用し、スケーリングされたベッセルブリッジの分布的恒等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガンマチルティング微積分を用いて、GGCおよびディリクレ過程の平均関数を、ベッセル過程の滞在時間とどのように関連付けることができるか？
• RQ2 正のリニク分布とp-スケーリングまたは確率的スケーリングされたベッセル過程の滞在時間との間には、どのような分布的同等性が存在するか？
• RQ3 安定補助過程とGGC補助過程の合成は、どのように新たな確率的スケーリングされたベッセル過程およびブリッジのモデルを導くか？
• RQ4 p-スケーリングされたベッセル過程の滞在時間は、非自明な確率的スケーリングされた過程の滞在時間として表現可能か？
• RQ5 GGC補助過程、安定補助過程、局所時間関数との相互作用から、どのような明示的密度式が導かれるか？

主な発見

• p-スケーリングされたベッセル過程またはブリッジの滞在時間は、非自明な確率的スケーリングされたベッセル過程の滞在時間と分布的に同等である。
• ガンマチルティングおよびGGC補助過程の合成を用いて、確率的スケーリングされたベッセル過程およびブリッジの明示的密度式が導出された。
• 確率変数 $ X_{\alpha} = S_{\alpha}/S'_{\alpha} $（$ S_{\alpha} $ および $ S'_{\alpha} $ はi.i.d.の$ \alpha $-安定）がディリクレ平均関数的であることが示された。
• $ 0 < \beta < 1 $ に対して、恒等式 $ M_{\alpha\theta}(\varrho_{\alpha\beta}) \overset{d}{=} M_{\alpha\theta}(\varrho_{\alpha})[M_{\theta}(\varrho_{\beta})]^{1/\alpha} $ が成り立ち、スケーリングされたスケーリングされたベッセルブリッジの局所時間の関係を結ぶ。
• 次式の過程 $ B^{(\alpha,1/2)}_{\alpha}(t) $、すなわち次元 $ 2-2\beta $ のベッセルブリッジが正に過ごした時間で確率的スケーリングされたもの、は標準ブラウンブリッジと等価な滞在時間分布を持つ。
• 恒等式 $ A^{(\alpha,\alpha\theta)}_{\alpha,\xi_{\theta}} \overset{d}{=} A^{(\alpha\beta,\alpha\theta)}_{\alpha\beta,p} $ により、適切な確率的スケーリングを用いることで、$ \xi $-スケーリングされたブリッジからp-スケーリングされたベッセルブリッジを回復できることを確認した。