[論文レビュー] Gauge Theory On The Fuzzy Torus

Daniela Bigatti|ArXiv.org|Sep 4, 2001

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、赤外・紫外両スケールを規格化する非可換な正則化時空であるフラッピー・トーラス上にU(1)ゲージ理論を定式化する。非可換なシフト演算子の行列表現を用いて、ゲージ不変なウィルソン・ループを構成し、強い磁場中で振る舞う粒子に似た性質を示す荷電物質場を導入する。これにより、量子ホール効果系の主要な特徴を捉えた行列量子力学モデルが得られる。

ABSTRACT

In this paper a formulation of U(1) gauge theory on a fuzzy torus is discussed. The theory is regulated in both the infrared and ultraviolet. It can be thought of as a non-commutative version of lattice gauge theory on a periodic lattice. The construction of Wilson loops is particularly transparent in this formulation. Following Ishibashi, Iso, Kawai and Kitazawa, we show that certain Fourier modes of open Wilson lines are gauge invariant. We also introduce charged matter fields which can be thought of as fundamentals of the gauge group. These particles behave like charges in a strong magnetic field and are frozen into the lowest Landau levels. The resulting system is a simple matrix quantum mechanics which should reflect much of the physics of charged particles in strong magnetic fields. The present results were first presented as a talk at the Institute for Mathematical Science, Chennai, India; the author wishes to thank Prof. T. R. Govindarajan and the IMS for hospitality and financial support, and the audience for pointing me out the work of Ambjorn, Makeenko, Nishimura and Szabo. The author is also grateful to the organizers of the Summer School in Modern Mathematical Physics, Sokobanja, Serbia, Yugoslavia, for financial support and hospitality during presentation of the present work at international conference FILOMAT 2001, Nis, Yugoslavia.

研究の動機と目的

• 有限次元の行列幾何学を用いて、コンpakな周期的時空におけるU(1)ゲージ理論の非可換正則化を展開すること。
• 有限次元の行列フレームワーク内で、閉じたおよび開いたウィルソン線のようなゲージ不変量を構成すること。
• 非可換ゲージ群の基本表現に従って変化する荷電物質場を組み込むこと。
• フラッピー・トーラス上での強い磁場中における粒子の物理を、最低ラウンド・レベルに凍結する様子を示すことにより、モデル化すること。
• 任意onsのような系の低エネルギー力学を反映する行列量子力学モデルを確立すること。

提案手法

• フラッピー・トーラスは、N×Nユニタリ行列UとVで定義され、UV = VUe^{iθ}（θ = 2π/N）を満たす。これは非可換な周期的座標を表す。
• ゲージ場は、格子ゲージ理論に類似したリンク変数XとYとして導入され、ユニタリティによりゲージ対称性が保証される。
• ウィルソン・ループは、ゲージ接続の経路順序指数関数から構成され、フーリエモード分解により、開いたウィルソン線がゲージ不変であることが示される。
• 物質場は、ゲージ群の基本表現に従って変化するN次元のベクトルψとして導入される。
• 作用にはゲージ場の運動項と物質のホッピング項が含まれ、弱結合限界では後者を調和振動子ハミルトニアンとして解釈できる。
• pとNが互いに素である有理数θ = 2πp/Nへの一般化が導入され、代数的構造が保たれ、N→∞の極限でp/N→有限となるように連続極限が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換トーラス上に、UVおよびIRの両方のカットオフを持つU(1)ゲージ理論を一貫して正則化する方法は何か？
• RQ2 この非可換格子形式において、ゲージ不変な観測量（例えばウィルソン・ループ）の構造はいかなるものか？
• RQ3 荷電物質場はこの枠組みでどのように振る舞うのか？ラウンド・レベルの量子化を示すか？
• RQ4 このような系の低エネルギー力学は、行列量子力学モデルで記述可能か？
• RQ5 連続極限における有理数θと無理数θの役割は何か？

主な発見

• フラッピー・トーラスは、UVおよびIRの両方のカットオフを持つ有限次元の行列正則化を提供し、格子間隔はa = 2πR/Nである。
• リンク変数XとYから構成されるウィルソン・ループはゲージ不変であり、そのフーリエモードがユニタリ変換のもとで明示的にゲージ不変であることが示された。
• 荷電物質場ψはホッピングハミルトニアンにより結合され、弱結合限界ではエネルギー間隔がθ ~ N⁻¹に比例する調和振動子ハミルトニアンに還元される。
• 系はラウンド・レベルの量子化を示す：粒子は最低ラウンド・レベルに凍結し、コンfiningポテンシャルにより最低エネルギー状態が原点に局在化する。
• このモデルは、任意onsおよび強い磁場中での荷電粒子の物理を捉えた行列量子力学を実現しており、作用はゲージ変換に対して不変である。
• pとNが互いに素である有理数θ = 2πp/Nへの一般化は代数的構造を保ち、N→∞の極限でp/N→有限となるように連続極限を可能にし、熱力学的極限における非可換場の理論の研究を可能にする。