[論文レビュー] Gauge Theory, Ramification, And The Geometric Langlands Program

Sergei Gukov, Edward Witten|ArXiv.org|Dec 8, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用数 70

ひとこと要約

この論文は、${\cal N}=4$超ヤン・ミルズ理論における表面演算子を導入することで、幾何的ラングランズプログラムへのゲージ理論的アプローチを拡張し、たたくらみ（tame ramification）を記述する。$S$-双対性がそのパラメータに作用することを示し、幾何的ラングランズ対応の自然な拡張が得られる。主な貢献は、たたくらみヒッグス bundle のモジュライ空間のコホロジーおよびブレーンにおけるアフィンワイル群とアフィンブレイン群の作用の実現である。

ABSTRACT

In the gauge theory approach to the geometric Langlands program, ramification can be described in terms of ``surface operators,'' which are supported on two-dimensional surfaces somewhat as Wilson or 't Hooft operators are supported on curves. We describe the relevant surface operators in N=4 super Yang-Mills theory, and the parameters they depend on, and analyze how S-duality acts on these parameters. Then, after compactifying on a Riemann surface, we show that the hypothesis of S-duality for surface operators leads to a natural extension of the geometric Langlands program for the case of tame ramification. The construction involves an action of the affine Weyl group on the cohomology of the moduli space of Higgs bundles with ramification, and an action of the affine braid group on A-branes or B-branes on this space.

研究の動機と目的

• 幾何的ラングランズプログラムのゲージ理論的定式を、たたくらみを含む場合にまで拡張すること。
• ${\cal N}=4$超ヤン・ミルズ理論における、分岐に対応する codimension-two 特異性を記述する表面演算子を定義し、特徴づけること。
• この表面演算子のパラメータに $S$-双対性がどのように作用するかを分析すること。
• ${\cal N}=4$ SYM をリーマン面でコンパクト化することで、分岐したヒッグス bundle のモジュライ空間に関連するゲージ理論データと幾何的ラングランズ対応の関係を確立すること。
• 分岐ヒッグス bundle のモジュライ空間のコホロジーおよびブレーンにおけるアフィンワイル群とアフィンブレイン群の作用を特定すること。

提案手法

• ウィルソン演算子や't Hooft演算子に類似した、指定された特異性を持つ codimension-two 異常として、${\cal N}=4$超ヤン・ミルズ理論に表面演算子を導入する。
• 電磁フラックスおよびモノドロミーのデータに対応する $(\alpha, \beta, \gamma, \eta)$ でパラメータ化する。
• 未分岐の場合に既知の双対性を一般化して、これらのパラメータへの $S$-双対性の作用を提案する。
• 4次元理論をリーマン面 $\Sigma$ でコンパクト化し、分岐ヒッグス bundle のハイパーケーラーなモジュライ空間を標的とする2次元のシグマ模型に還元する。
• 分岐ヒッグス bundle のモジュライ空間のコホロジーを分析し、アフィンワイル群の作用を同定する。
• この作用を、モジュライ空間の導来カテゴリにおける $A$-および $B$-ブレーンに、アフィンブレイン群の作用へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的ラングランズプログラムにおける分岐は、どのようにゲージ理論的演算子として実現できるか？
• RQ2 ${\cal N}=4$ SYM におけるたたくらみを記述する、正確な表面演算子の形は何か？
• RQ3 $S$-双対性は、これらの表面演算子のパラメータにどのように作用するか？
• RQ4 アフィンワイル群とアフィンブレイン群は、分岐ヒッグス bundle のモジュライ空間のコホロジーおよびブレーン構造において、それぞれどのような役割を果たすか？
• RQ5 ${\cal N}=4$ SYM をリーマン面でコンパクト化することで、分岐を含む拡張された幾何的ラングランズ対応はどのように実現されるか？

主な発見

• ${\cal N}=4$ SYM における表面演算子は、幾何的ラングランズプログラムにおけるたたくらみのゲージ理論的実現を提供する。
• これらの表面演算子のパラメータ $(\alpha, \beta, \gamma, \eta)$ は、未分岐の場合に既知の双対性を一般化した形で $S$-双対性によって変換される。
• 分岐ヒッグス bundle のモジュライ空間のコホロジーには、特異性を伴うヒッチン系の幾何から生じるアフィンワイル群の作用が存在する。
• 分岐ヒッグス bundle のモジュライ空間の導来カテゴリには、$A$-および $B$-ブレーンにアフィンブレイン群の作用が存在し、幾何的ラングランズ対応が拡張される。
• $G_2$ および $F_4$ の場合、群とその双対の間の $S$-双対性同型は、回転とスケーリング写像 ${{R}}$ を通じて実現され、これがあなたの双対性作用に組み込まれる。
• この構成により、たたくらみを含む場合への幾何的ラングランズ対応の自然な拡張が得られ、ベズルクアニコフのアフィンブレイン群に関する研究など、数学的発展とも整合する。