[論文レビュー] Generalization of theorems of Griffiths and Steenbrink to hypersurfaces with ordinary double points

Alexandru Dimca, Morihiko Saito|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、GriffithsおよびSteenbrinkのホッジフィルトレーションとスペクトルに関する定理を、通常の二重点特異点（ODP）をもつ超曲面へ一般化し、補空間およびミルナー多様体のコホロジーにおける次数付きホッジフィルトレーションの代数的記述を確立する。$E_2$-退化性を示し、ミルナー数および特異点数を用いたSteenbrinkおよびポールドアスペクトルの明示的公式を導出する。

ABSTRACT

Let Y be a hypersurface in projective space having only ordinary double points as singularities. We prove a variant of a conjecture of L. Wotzlaw on an algebraic description of the graded quotients of the Hodge filtration on the top cohomology of the complement of Y except for certain degrees of the graded quotients, as well as its extension to the Milnor cohomology of a defining polynomial of Y for degrees a little bit lower than the middle. These partially generalize theorems of Griffiths and Steenbrink in the Y smooth case, and enable us to determine the structure of the pole order spectral sequence. We then get quite simple formulas for the Steenbrink and pole order spectra in this case, which cannot be extended even to the simple singularity case easily.

研究の動機と目的

• 滑らかな超曲面からODPをもつ超曲面へGriffithsおよびSteenbrinkの定理を拡張し、補空間のコホロジーにおけるホッジフィルトレーションの代数的記述を提供する。
• 中間付近の次数において、定義多項式のミルナーコホロジーへのホッジフィルトレーション記述を一般化し、Thom–Sebastiani型定理を用いて技術的障害を回避する。
• ポールドアスペクトル列の構造を特定し、ODPの場合におけるSteenbrinkおよびポールドアスペクトルの明示的公式を導出する。
• ODP仮定のもとで、低次元範囲においてポールドフィルトレーションとホッジフィルトレーションが一致することを示し、スペクトル列の退化を可能にする。

提案手法

• 定義多項式 $f$ の微分に付随するコクサル複体 $K_f^{\bullet} = (\bigwedge^{\bullet} \text{d}f)$ の使用により、次数付き $R$-加群 ${}^s\text{N}$, $M$, および $M''$ の構成がなされる。
• 非孤立特異点への拡張における技術的困難を回避するため、Thom–Sebastiani定理を適用し、ミルナーコホロジーへの拡張を可能にする。
• $k/d \leq n/2$ のとき $\text{Gr}_F^p H^n(f^{-1}(1), \mathbb{C}) \cong (R/J)_{k-n-1}$ という同型を用いて、ポールドスペクトル列の $E_2$-退化性を証明する。ここで $J$ はヤコビアンイデアルである。
• 恒等式 $\dim M_k - \dim {}^s\text{N}_{k-d} = \gamma_k$ を用いてスペクトルの公式を導出する。ここで $\gamma_k$ は $(t + \cdots + t^{d-1})^{n+1}$ の係数である。
• $k = d(n+1)/2$ の周りにおける $\{\dim M_k'\}$ および $\{n_f^{0,\alpha}\}$ の対称性を用い、証明を二つの場合に簡略化する： $k/d \leq n/2 + 1/2$ および $k/d = n/2 + 1$。
• $\dim {}^s\text{N}_{nd/2}$ を用いて $\text{Sp}^1(f)$ および $\text{Sp}_P^1(f)$ を明示的に計算し、$nd$ が奇数のときは消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^n$ 内の通常の二重点特異点のみをもつ超曲面 $Y$ に対して、$H^n(U, \mathbb{C})$ のホッジフィルトレーションは、Griffithsの定理を一般化して代数的に記述可能か？
• RQ2 こうした超曲面に対して、ポールドスペクトル列は $E_2$ で退化するか？ また、低次元範囲でホッジフィルトレーションとポールドフィルトレーションが一致することを示せるか？
• RQ3 ODPの場合におけるSteenbrinkおよびポールドアスペクトルの明示的公式は何か？ また、それらは特異点数および $f$ の次数にどのように依存するか？
• RQ4 ODP条件のもとで、ミルナーコホロジー $H^n(f^{-1}(1), \mathbb{C})$ の構造は、ホッジフィルトレーションの次数付き部分にどのように関係するか？
• RQ5 結果はODP特異点を超えて拡張可能か？ また、$A_k$ のような単純特異点の場合の障害は何か？

主な発見

• $k/d \leq n/2$ のとき、Thom–Sebastiani定理および同型 $\text{Gr}_F^p H^n(f^{-1}(1), \mathbb{C}) \cong (R/J)_{k-n-1}$ を用いて、通常の二重点特異点をもつ超曲面において、ポールドスペクトル列が $E_2$ で退化することが示された。
• Steenbrinkスペクトルは $$ \text{Sp}_P(f) = (t^{1/d} + \cdots + t^{(d-1)/d})^{n+1} - \sum_{nd/2 < k \leq nd/2 + d} {}^s\nu_k t^{k/d} - \sum_{k > nd/2 + d} ({}^s\nu_k - {}^s\nu_{k-d}) t^{k/d} $$ で与えられ、ここで ${}^s\nu_k = \dim {}^s\text{N}_k$ である。
• $k = nd/2$ のとき、項 ${}^s\nu_k - {}^s\nu_{k-d}$ は $[0, \tau_Y]$ に属し、$nd$ が奇数のときは消える。
• $k/d \leq n/2$ の範囲で、$\lambda$-固有空間 $H^n(f^{-1}(1), \mathbb{C})_{\mathbf{e}(-k/d)}$ は $M_k = (R/J)_{k-n-1}$ に同型であり、この範囲で $F$ および $P$ フィルトレーションは一致する。
• スペクトル $\text{Sp}^1(f)$ は、$nd$ が偶数のとき $\dim {}^s\text{N}_{nd/2} \cdot t^{n/2+1}$ であり、そうでないときは 0 である。また $\text{Sp}^0(f) = \text{Sp}(f) + \text{Sp}^1(f)$ である。
• スペクトルの公式は、単純特異点（例：$A_k$）の場合は容易に拡張できない。$k > 1$ のとき、区間 $[\widetilde{\alpha}_Y, n - \widetilde{\alpha}_Y]$ のスペクトルデータは著しく複雑になるためである。