[論文レビュー] Generalized Enrichment for Categories and Multicategories

Tom Leinster|ArXiv.org|Jan 29, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、n-オペトープに関連するモノイド Tₙ と関連する Tₙ-マルチカテゴリの高次元構造における拡張の一般化フレームワークを導入する。Tₙ-マルチカテゴリは Tₙ₊₁-マルチカテゴリにおいて enrich され得ることを示しており、主な貢献は『fc-マルチカテゴリ』の定義である。fc-マルチカテゴリは、カテゴリ、マルチカテゴリ、2-圏、および二重圏を統合する普遍的な2次元構造である。さらに、fc-マルチカテゴリにおいて enrich されたカテゴリは自然に双モジュール構成を支持し、対称モノイド圏における relaxed マルチカテゴリおよびオペラッドへの応用が得られる。

ABSTRACT

In this paper we answer the question: `what kind of a structure can a general multicategory be enriched in?' The answer is, in a sense to be made precise, that a multicategory of one type can be enriched in a multicategory of the type one level up. In the case of ordinary categories this reduces to something surprising: a category may be enriched in an `fc-multicategory', a very general kind of 2-dimensional structure encompassing monoidal categories, plain multicategories, bicategories and double categories. (It turns out that fc-multicategories also provide a natural setting for the bimodules construction.) An extended application is given: the relaxed multicategories of Borcherds and Soibelman are explained in terms of enrichment.

研究の動機と目的

• 基礎的な問いに答えること：'一般のマルチカテゴリは、モノイド圏を超えて、どのような構造において enrich され得るか？'
• 任意のモノイド T に対して、古典的な enrich 構造を一般化した T-マルチカテゴリの一般概念を定義すること。これは、古典的な enrich 構造をモノイド圏を超えて拡張することを目的とする。
• fc-マルチカテゴリが、カテゴリ、マルチカテゴリ、2-圏、および二重圏を包含する普遍的な2次元構造であることを特定すること。
• 双モジュール構成が fc-マルチカテゴリの文脈において自然に生じることを示すこと。
• このフレームワークを relaxed マルチカテゴリに適用し、Borcherds–Soibelman の構成を T₂-マルチカテゴリにおける enrich によって解釈すること。

提案手法

• 適切な圏 E 上のモノイド T によって支配される合成を有する、古典的 enrich 構造の一般化を用いて、T-マルチカテゴリの enrich を定義する。
• n-オペトープから構成されるオペトピックモノイド Tₙ を用いて Tₙ-マルチカテゴリを定義する。T₀ = id（カテゴリ）、T₁ = 自由モノイド（通常のマルチカテゴリ）、高次元の Tₙ は高次元の合成を表す。
• モノイド圏、マルチカテゴリ、2-圏、および二重圏を一般化する普遍的な2次元構造として『fc-マルチカテゴリ』を導入する。
• T-グラフ上の自由マルチカテゴリを、グラフのネストされた列 An のコロイミットとして構成する。その際、適切性の公理（滑らかな圏、安定な直和、コロイミットの可換性）を用いる。
• 忘却函手に対する左随伴の存在を示し、モノイド性定理を用いて自由マルチカテゴリの存在を証明する。T が適切であるとき、(E′, T′) が適切であることを確認する。
• このフレームワークを relaxed マルチカテゴリに適用し、それらが T₂-マルチカテゴリにおける enrich によって生じることを示し、対称モノイド圏におけるオペラッドを plain マルチカテゴリにおける enrich として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のマルチカテゴリは、モノイド圏を超えて、どのような構造において enrich され得るか？
• RQ2 オペトピックモノイド Tₙ を用いることで、カテゴリから高次元マルチカテゴリへの enrich の概念はどのように一般化されるか？
• RQ3 fc-マルチカテゴリは、2-圏、二重圏、および双モジュール構成を統合する役割を果たすか？
• RQ4 Borcherds および Soibelman の relaxed マルチカテゴリは、T₂-マルチカテゴリにおける enrich を通じてどのように理解されるか？
• RQ5 対称モノイド圏におけるオペラッドは、提示された plain マルチカテゴリにおける enrich フレームワークにどのように適合するか？

主な発見

• Tₙ-マルチカテゴリは Tₙ₊₁-マルチカテゴリにおいて enrich され得る。これは、オペトピックモノイドに基づく enrich 構造の階層を確立する。
• fc-マルチカテゴリにおいて enrich されたカテゴリの圏は適切に定義されており、双モジュールを含む、すべての標準的な2次元圏的構成を含む。
• 双モジュール構成は fc-マルチカテゴリの文脈において自然に生じ、カテゴリ、関手、およびプロファンクターを統合する構造 Bim(Span) をもたらす。
• T-グラフ上の自由 T-マルチカテゴリは、グラフ列 An のコロイミットとして構成され、その構成は (E, T) の適切性に依存する。
• Borcherds および Soibelman の relaxed マルチカテゴリは、T₂-マルチカテゴリにおける enrich によって得られるカテゴリと同値であることが示され、 enrich を通じた概念的解釈が得られる。
• 対称モノイド圏におけるオペラッドは、plain マルチカテゴリにおける enrich として特定され、一般化された enrich フレームワークに自然に埋め込まれる。