[論文レビュー] Generalized Fleming-Viot processes with immigration via stochastic flows of partitions

Clément Foucart|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{Z}_+$ 上の確率的分割の流れを用いて、外部の移民祖先（ラベル 0）を特徴的な凝集メカニズムで組み込んだ、移住を伴う一般化されたフレミング＝ヴィオット過程（GFVI）を導入する。主な貢献は、双対性に基づく構成により、GFVI を Feller過程として特徴づけ、初期タイプの絶滅に関する十分条件を提示することであり、古典的な双対性枠組みを移住および同時に複数の出生を含む状況に拡張する。

ABSTRACT

The generalized Fleming-Viot processes were defined in 1999 by Donnelly and Kurtz using a particle model and by Bertoin and Le Gall in 2003 using stochastic flows of bridges. In both methods, the key argument used to characterize these processes is the duality between these processes and exchangeable coalescents. A larger class of coalescent processes, called distinguished coalescents, was set up recently to incorporate an immigration phenomenon in the underlying population. The purpose of this article is to define and characterize a class of probability-measure valued processes called the generalized Fleming-Viot processes with immigration. We consider some stochastic flows of partitions of Z_{+}, in the same spirit as Bertoin and Le Gall's flows, replacing roughly speaking, composition of bridges by coagulation of partitions. Identifying at any time a population with the integers $\mathbb{N}:=\{1,2,...\}$, the formalism of partitions is effective in the past as well as in the future especially when there are several simultaneous births. We show how a stochastic population may be directly embedded in the dual flow. An extra individual 0 will be viewed as an external generic immigrant ancestor, with a distinguished type, whose progeny represents the immigrants. The "modified" lookdown construction of Donnelly-Kurtz is recovered when no simultaneous multiple births nor immigration are taken into account. In the last part of the paper we give a sufficient criterion for the initial types extinction.

研究の動機と目的

• フレミング＝ヴィオット過程の双対性枠組みを、移住および同時に複数の出生を含む状況に拡張すること。
• 外部の移民祖先（0 でラベル付け）を含む $\mathbb{Z}_+$ 上の確率的分割の流れを用いて、移住を伴う測度値過程のクラスを定義すること。
• 移住および同時に複数の出生が存在しない場合に、ドネリーとカーツの修正ラックダウン構成が特殊ケースとして回復されることを示すこと。
• 移住を伴う一般化されたフレミング＝ヴィオット過程の Feller 性を確立し、双対性を用いて生成作用素を特定すること。
• 集団における初期タイプの絶滅が発生する十分条件を提示すること、すなわち、最終的に移民由来の系統のみが残存する状況を特定すること。

提案手法

• 構成には、$\mathbb{Z}_+$ 上の確率的分割の流れ $\Pi(s,t)$ を用い、ブリッジの合成に代わって凝集を記述することで、共alescence と移住の両方を符号化する。
• 前向きの双対過程 $\hat{\Pi}(t) = \Pi(-t,0)$ は時系列で集団をモデル化し、$\hat{\Pi}_i(t)$ は個体 $i \geq 1$ の子孫を、$\hat{\Pi}_0(t)$ は移民祖先の子孫を表す。
• 個体にタイプを割り当てる：移民に対して $U_0 = 0$、$i \geq 1$ の個体に対して $U_i$ を割り当て、交換可能性により頻度の極限が一貫する。
• 一般化されたフレミング＝ヴィオット過程 $Z_t$ は、$\hat{\Pi}(t)$ におけるタイプの経験的測度として定義され、デ・フィネッティの定理およびペイントボックス構成を用いて収束を分析する。
• 生成作用素は、特徴的な交換可能な共alescent との双対性を用いて導出され、$Z_t$ が確率測度の空間上での Feller 過程であることが示される。
• 初期タイプの絶滅の十分条件は、時間の経過に伴う分割のブロックおよびそのタイプ頻度の漸近的挙動を分析することで導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたフレミング＝ヴィオット過程を、双対性が保たれるように移住を含む形に拡張する方法は何か？
• RQ2 特徴的な分割の流れが、同時に複数の出生と移住を統合的に記述するための確率的枠組みとして果たす役割は何か？
• RQ3 外部の移民祖先（ラベル 0）の導入が、集団内のタイプ頻度の長期的挙動に与える影響は何か？
• RQ4 初期タイプ分布が長期間にわたり消滅する条件は何か、すなわち、最終的に移民由来の系統のみが残存する状況はどのようなときか？
• RQ5 ドネリーとカーツの修正ラックダウン構成は、このより広範な確率的流れの枠組み内で特殊ケースとして回復可能か？

主な発見

• 移住を伴う一般化されたフレミング＝ヴィオット過程（GFVI）が Feller 過程であることが示され、強いマルコフ性および Feller 連続性の性質が保証される。
• 特徴的な交換可能な共alescent との双対性を用いて GFVI の生成作用素が明示的に特定され、無限小的特徴づけが完全に得られる。
• 前向きの分割過程におけるタイプの経験的測度は、ペイントボックス構造を含む極限測度にほとんど確実に収束する：$(1 - \sum_{i \geq 0} |\pi_i|)\rho + |\pi_0|\delta_0 + \sum_{i \geq 1} |\pi_i|\delta_{U_i}$、ここで $\rho$ は $[0,1]$ 上の一様測度である。
• 初期タイプの絶滅の条件は $\sum_{i \geq 1} |\pi_i| \to 0$ ほぼ確実に、すなわち、非移民ブロックの総質量が極限で消滅する場合に成立する。
• 移住および同時に複数の出生が存在しない場合、本モデルはドネリーとカーツの修正ラックダウン構成を回復し、先行研究との整合性が裏付けられる。
• 分割上へのポアソン確率測度の使用により、複数の凝集と移住を統合的に扱える確率的分割の流れが構成可能であり、統一的な枠組みが実現される。