[論文レビュー] Generalized Mittag Leffler distributions arising as limits in preferential attachment models

Lancelot F. James|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 53被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、線形重み付き優先的付随モデルにおけるスケーリング極限として一般化 Mittag-Leffler 分布が出現することを確立し、特に二パラメータのポisson-ディリクレ分布 PD(α,θ) と関連付ける。このようなモデルにおける極限的度数列が、明示的な共aggregation プロセスおよびネストされた中国レストラン分割構造と関連する $ S^{-\theta}_{\theta,\theta+r} $ を含む分布に収束することを示している。特に $ \alpha = 1/2 $ の場合に顕著である。主な貢献は、時間非定常マルコフ連鎖と安定確率変数を用いた統一的枠組みを通じて、これらの極限を理解するものである。

ABSTRACT

For $0-α,$ let $(S^{-α}_{α,θ+r})_{\{r\ge 0\}}$ denote an increasing(decreasing) sequence of variables forming a time inhomogeneous Markov chain whose marginal distributions are equivalent to generalized Mittag Leffler distributions. We exploit the property that such a sequence may be connected with the two parameter $(α,θ)$ family of Poisson Dirichlet distributions. We demonstrate that the sequences serve as limits in certain types of preferential attachment models. As one illustrative application, we describe the explicit joint limiting distribution of scaled degree sequences arising under a class of linear weighted preferential attachment models as treated in Móri (2005), with weight $β>-1.$ When $β=0$ this corresponds to the Barbasi-Albert preferential attachment model. We then construct sequences of nested $(α,θ)$ Chinese restaurant partitions of $[n]$. From this, we identify and analyze relevant quantities that may be thought of as mimics for vectors of degree sequences, or differences in tree lengths. We also describe connections to a wide class of continuous time coalescent processes that can be seen as a variation of stochastic flows of bridges related to generalized Fleming-Viot models. Under a change of measure our results suggest the possibilities for identification of limiting distributions related to consistent families of nested Gibbs partitions of $[n]$ that would otherwise be difficult by methods using moments or Laplace transforms. In this regard, we focus on special simplifications obtained in the case of $α=1/2.$ That is to say, limits derived from a $\mathrm{PD}(1/2|t)$ distribution. Throughout we present some distributional results that are relevant to various settings. We describe nestings across the $α$ parameter in section 6

研究の動機と目的

• 線形重み付き優先的付随モデル（重み $ \beta > -1 $）におけるスケーリング度数列の極限的連関分布を特定すること。
• 一般化 Mittag-Leffler 変数 $ S^{-\theta}_{\theta,\theta+r} $ が二パラメータのポisson-ディリクレ分布 PD(α,θ) および関連する交換可能な分割構造とどのように関連するかを明らかにすること。
• ランダム木成長過程における変化する度数列をモデル化するためのネストされた中国レストラン過程と共aggregation 演算子の枠組みを構築すること。
• 特に $ \alpha = 1/2 $ の場合に、安定分布およびベータ・ガンマ代数を用いて分布的恒等式とスケーリング極限を確立すること。

提案手法

• 時間非定常マルコフ連鎖（$ r \geq 0 $ でインデックス付け）を用い、その周辺分布が一般化 Mittag-Leffler 分布 $ S^{-\theta}_{\theta,\theta+r} $ に等しいようにして、変化する度数列をモデル化する。
• 安定密度に多項式チルティングを適用し、$ f_{\alpha,\theta}(t) = c_{\alpha,\theta} t^{-\theta} f_\alpha(t) $ を定義し、ラプラス変換 $ \mathbb{E}[e^{-\omega S_{\alpha,\theta}}] $ と関連付ける。
• ピットマン-ヨア中国レストラン過程と PD(α,θ) フレームワークを用いて漸近的結果を導出し、$ n^{-\alpha} K_n \to S^{-\alpha}_{\alpha,\theta} $ が $ n \to \infty $ でほとんど確実に成り立つことを示す。
• 共aggregation 演算子と局所時間恒等式を用いて、ネストされた分割構造におけるブロック構造の進化を記述し、$ S^{-\delta}_{\delta,\theta/\alpha} $ がベータおよびガンマ変数と関連することを示す。
• 測度変換技術を用いて、一貫性のあるネストされたギブズ分割族における極限分布を同定し、モーメントやラプラス変換に依存しない方法を採用する。
• 特に $ \alpha = 1/2 $ の場合に、ベータおよび安定変数の積を用いて $ S^{-\alpha\delta}_{\alpha,\theta+r} $ の明示的分布的恒等式を導出し、$ S^{-1/2}_{1/2,\theta} \overset{d}{=} 2G^{1/2}_{\theta+1/2} $ が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形重み付き優先的付随モデルにおける度数列の連関が $ n^\alpha $ でスケーリングされたとき、漸近的にどのように振る舞うか。
• RQ2 PD(α,θ) 分割における [n] のブロック数 $ K_n $ が $ n^\alpha $ でスケーリングされたとき、その正確な極限分布は何か。
• RQ3 一般化 Mittag-Leffler 変数 $ S^{-\alpha}_{\alpha,\theta} $ は、安定分布およびベータ・ガンマ代数とどのように関連するか。
• RQ4 ネストされた中国レストラン過程と共aggregation 演算子は、変化する度数列および木の長さの差をモデル化する上で果たす役割は何か。
• RQ5 特に $ \alpha = 1/2 $ の場合に、モーメントやラプラス変換に依存しない方法で、交換可能な標本抽出機構における極限分布を同定できるか。

主な発見

• 重み $ \beta > -1 $ の線形重み付き優先的付随モデルにおけるスケーリング度数列の連関極限分布は、列 $ (S^{-\alpha}_{\alpha,\theta+r})_{r \geq 0} $ によって特徴づけられ、一般化 Mittag-Leffler 周辺分布を持つ時間非定常マルコフ連鎖を形成する。
• $ n \to \infty $ のとき、$ n^{-\alpha} K_n \to S^{-\alpha}_{\alpha,\theta} $ がほとんど確実に成り立つ。ここで $ K_n $ は [n] の PD(α,θ) 分割におけるブロック数である。
• $ \alpha = 1/2 $ の場合、$ S^{-1/2}_{1/2,\theta} \overset{d}{=} 2G^{1/2}_{\theta+1/2} $ が成り立ち、$ G_{\theta+1/2} $ はガンマ分布に従う確率変数である。これにより明示的計算と簡略化が可能になる。
• 列 $ (S^{-\alpha}_{\alpha,\theta+r})_{r \geq 0} $ は、あるクラスの再帰的木モデルにおける極限として出現し、一般化されたビessel過程の局所時間と関連している。
• ベータ・ガンマ・安定代数を用いて分布的恒等式を導出し、$ S^{-\alpha\delta}_{\alpha,\theta+r} = S^{-\alpha\delta}_{\alpha,\theta+r-1} B^{-\delta}_{(\frac{\theta+r-1+\alpha}{\alpha}, \frac{1-\alpha}{\alpha})} \cdot B_{(\frac{\theta+r-1+\alpha\delta}{\alpha\delta}, \frac{1-\alpha\delta}{\alpha\delta})} $ を得る。この式は再帰的構造を示している。
• 本フレームワークにより、測度変換技術を用いてネストされたギブズ分割における極限分布を同定でき、従来のモーメントに基づく方法やラプラス変換に依存しない。