[논문 리뷰] Generalized pattern avoidance with additional restrictions

Sergey Kitaev|ArXiv.org|2002. 05. 20.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 순열의 초기 또는 최종 $k$ 원소에 추가 제약 조건이 있는 일반화된 순열 패턴 회피를 조사한다. 패턴을 회피하는 순열과 구조화된 집합 분할 간의 이분법을 수립하고, 특정한 초기 또는 종단 증가/감소 부분수열을 가진 3글자 일반화 패턴을 회피하는 순열의 수에 대한 지수 생성함수(e.g.f.)를 유도한다. 주요 결과로는, $1-32$-회피 $n$-순열 중 $12\ldots k$로 끝나는 순열의 수가 벨 수(Bell numbers)의 선형 조합임을 보여준다.

ABSTRACT

Babson and Steingr\'ımsson introduced generalized permutation patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. We consider n-permutations that avoid the generalized pattern 1-32 and whose k rightmost letters form an increasing subword. The number of such permutations is a linear combination of Bell numbers. We find a bijection between these permutations and all partitions of an $(n-1)$-element set with one subset marked that satisfy certain additional conditions. Also we find the e.g.f. for the number of permutations that avoid a generalized 3-pattern with no dashes and whose k leftmost or k rightmost letters form either an increasing or decreasing subword. Moreover, we find a bijection between n-permutations that avoid the pattern 132 and begin with the pattern 12 and increasing rooted trimmed trees with n+1 nodes.

연구 동기 및 목표

• 초기 또는 최종 $k$ 개의 원소가 증가 또는 감소하는 제약 조건이 있는 $n$-순열의 일반화된 3패턴 회피를 조사한다.
• $1-32$-회피 순열 중 $12\ldots k$로 끝나는 것과, 특정 조건을 만족하는 하나의 부분집합이 표시된 $(n-1)$-원소 집합의 분할 간의 이분법을 수립한다.
• 3글자 일반화 패턴(대시 없음)을 회피하고, 시작 또는 끝에 길이 $k$의 단조 증가 또는 감소 부분어구를 가진 순열의 수에 대한 지수 생성함수(e.g.f.)를 유도한다.
• 일부 초기/종단 제약 조건이 있는 패턴 회피 문제들이 다중 고전적 패턴의 동시 회피와 동치임을 보여준다.
• 이러한 순열의 수를 증가하는 루트가 있는 자르기 트리와 집합 분할과 같은 조합 구조와 연결한다.

제안 방법

• 순열을 접두사 $\sigma$, 숫자 1, 접미사 $\tau$로 재귀적으로 분해하여, $\tau$는 증가하고 $\sigma$는 $1-32$를 회피하도록 하여, 이항 계수와 벨 수의 합을 유도한다.
• 클라소른(Claesson, 2002)의 알려진 결과를 적용하여, $1-32$를 회피하는 $i$-순열의 수가 $i$-번째 벨 수 $B_i$임을 이용하고, 접두사에 사용할 원소를 이항 계수로 선택한다.
• 최댓값 원소 $n+1$의 위치를 분석하여 지수 생성함수에 대한 미분 방정식을 유도하고, 기존의 생성함수와 연관시킨다.
• 함수 $T(x)$를 도입하여 $T'(x) = D(x) + 1$로 정의하고, 여기서 $D(x)$는 관련된 클래스의 e.g.f.이며, 이를 통해 생성함수의 재귀 관계를 해결한다.
• 역순, 보완, 그 조합 등의 자명한 대칭성을 적용하여 결과를 등가 패턴 클래스로 확장한다.
• 특히 $\int_0^x e^{-t^2/2} dt$와 관련된 유리 함수를 포함하는 반복 적분과 지수 적분을 사용하여 e.g.f.를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 generalized pattern $1-32$를 회피하고 $12\ldots k$로 끝나는 $n$-순열의 수는 얼마인가요?
• RQ2 이러한 순열은 어떤 특정한 구조적 제약 조건을 만족하는 $(n-1)$-원소 집합의 분할 중 하나의 부분집합이 표시된 경우에 대해 어떻게 집합 분할과 이분법적으로 연결될 수 있나요?
• RQ3 3글자 일반화 패턴(대시 없음)을 회피하고 시작 또는 끝에 길이 $k$의 단조 부분어구를 가진 $n$-순열의 수에 대한 지수 생성함수(e.g.f.)는 무엇인가요?
• RQ4 $132$-회피 $n$-순열 중 $12$로 시작하는 순열의 수에 대한 조합적 해석은 트리 구조로 어떻게 표현될 수 있나요?
• RQ5 추가 제약 조건(예: $12\ldots k$로 시작)이 단일 패턴 회피를 다중 고전적 패턴의 동시 회피로 어떻게 변환합니까?

주요 결과

• $1-32$를 회피하고 $12\ldots k$로 끝나는 $n$-순열의 수는 $\sum_{i=0}^{n-k} \binom{n-1}{i} B_i$이며, 이는 벨 수의 선형 조합이다.
• 이러한 순열과 $(n-1)$-원소 집합의 분할 간에 이분법이 수립되며, 이때 표시된 부분집합의 최소 원소의 위치에 대한 조건을 만족한다.
• $(n-1)$-원소 집합의 분할 중 하나의 부분집합이 표시된 총 수는, $1-32$를 회피하고 $12$로 끝나는 $n$-순열의 수와 같으며, 이는 벨 수와 제2종 스틸링 수를 포함하는 새로운 항등식이다.
• $132$-회피 $n$-순열 중 $12$로 시작하는 순열의 수는 $n+1$개의 노드를 가진 증가하는 루트가 있는 자르기 트리의 수와 같다.
• $k \geq 2$일 때, $132$-회피 $n$-순열 중 $12\ldots k$로 시작하는 순열의 e.g.f.는 $T(x)$와 $C_k(x)$를 포함하는 중첩된 적분 표현식으로 주어지며, 여기서 $T(x) = -x^2/2 + \int_0^x \frac{e^{-t^2/2}}{1 - \int_0^t e^{-s^2/2} ds} dt$
• $123$을 회피하고 $12\ldots k$로 끝나는 순열의 e.g.f.는 $k=1$일 때 $\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{e^{x/2}}{\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\pi}{6})}$이며, 다른 패턴과 $k$ 값에 대해서도 유사한 표현식이 유도된다.