[論文レビュー] Generalized Planar Tur\'an Numbers

Ervin Győri, Addisu Paulos+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿は一般化された平面的タウラン数を調査し、特定の偶数長サイクルを含まない平面的グラフにおいて、固定された木やサイクルのコピー数を最大化することに注力している。このような極値的数え上げの漸近的オーダーを確立し、任意の固定された木 $T$ に対して、$C_{2\ell}$-フリーな平面的グラフにおける $T$ のコピー数が $\Theta(n)$ であることを証明し、$C_4$-フリーな平面的グラフにおける 5 サイクルについても正確な結果を提示している。

ABSTRACT

In a generalized Tur\\'an problem, we are given graphs $H$ and $F$ and seek to maximize the number of copies of $H$ in an $F$-free graph of order $n$. We consider generalized Tur\\'an problems where the host graph is planar. In particular we obtain the order of magnitude of the maximum number of copies of a fixed tree in a planar graph containing no even cycle of length at most $2\\ell$, for all $\\ell$, $\\ell \\geq 1$. We obtain the order of magnitude of the maximum number of cycles of a given length in a planar $C_4$-free graph. An exact result is given for the maximum number of $5$-cycles in a $C_4$-free planar graph. Multiple conjectures are also introduced.

研究の動機と目的

• 任意の $\ell \geq 1$ に対して、偶数長が $2\ell$ 以下のサイクルを含まない平面的グラフにおける固定された木のコピー数の最大値を特定すること。
• $C_4$-フリーな平面的グラフにおける $t$-サイクルの数のオーダーを特定すること。
• $C_4$-フリーな平面的グラフにおける 5 サイクルの最大数の正確な特徴付けを提供すること。
• エプスタインの予想の制限版を検証し、木に対して極値関数が $\Theta(n^k)$（ある $k$ に対して）であることを示すこと。
• さまざまなグラフ族についての一般化された平面的タウラン数に関する複数の予想を提示し、それらを検討すること。

提案手法

• グラフ $F$ を部分グラフとして含まない $n$ 頂点の平面的グラフにおける $H$ のコピー数の最大値として、一般化された平面的タウラン関数 $\operatorname{ex}_{\mathcal{P}}(n,H,F)$ を定義する。
• 次数が 3 以上の頂点と次数 2 の頂点からなるパス森 $F$ を用いて木を構造分解し、埋め込み問題を有界次数の部分グラフに還元する。
• $C_{2\ell}$-フリーな平面的グラフにおける木 $T$ の埋め込み数が、核心的部分グラフ $F$ の埋め込みにのみ依存し、各頂点に対して選択肢が有限であることを示す還元論法を適用する。
• $C_{2\ell}$-フリーな平面的グラフにおいて、高次元の頂点からの距離が $\ell$ 以内の頂点は埋め込み選択肢が制限されることを活用し、合計で $O(n)$ 個のコピーが得られることを保証する。
• $C_4$-フリーな平面的グラフにおける次数和の境界（ヘンドレイによる参照付き）を用いてサイクル数を制御する、極値グラフ理論の道具を適用する。
• 定理 7.1 を適用し、$A_{2}''$ に属する頂点の有効な埋め込み数を制限し、各構成に対して定数個の選択肢しか存在しないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された木のコピー数の最大値の漸近的オーダーは、偶数長が $2\ell$ 以下のサイクルを含まない平面的グラフにおいてどのように振る舞うか？
• RQ2 $C_4$-フリーな平面的グラフにおける $t$-サイクルの最大数は、固定された $t$ に対してどのようにか？
• RQ3 $C_4$-フリーな平面的グラフにおける 5 サイクルの最大数は正確にどれほどか？
• RQ4 一般化された平面的タウラン関数 $\operatorname{ex}_{\mathcal{P}}(n,H,\emptyset)$ は、任意の固定されたグラフ $H$ に対して $n$ の多項式として成長するか？
• RQ5 $C_{2\ell}$-フリーな平面的グラフにおける木埋め込みの極値関数は $O(n)$ で有界にできるか？もし可能ならば、どのような構造的条件下で成立するか？

主な発見

• 任意の固定された木 $T$ に対して、偶数長が $2\ell$ 以下のサイクルを含まない平面的グラフにおける $T$ のコピー数は $\Theta(n)$ であり、オーダーが確立された。
• $C_4$-フリーな平面的グラフにおける $t$-サイクルの最大数は、任意の固定された $t \geq 3$ に対して $\Theta(n)$ であり、定数は $t$ に依存する。
• $C_4$-フリーな平面的グラフにおける 5 サイクルの最大数は正確に $n - 3$ であり、正確な極値的結果が得られた。
• 著者らは、木に対してエプスタインの予想の制限版を検証し、$\operatorname{ex}_{\mathcal{P}}(n,T,\emptyset) = \Theta(n^k)$（$k \geq 1$）であることを示した。特に、すべての木に対して $k=1$ が成り立つ。
• $C_{2\ell}$-フリーな平面的グラフへの木 $T$ の有効な埋め込み数は、高次元の頂点からの距離が $\ell$ 以内の頂点の選択肢が限られているため、$n$ の定数倍で有界である。
• 次数が 3 以上の頂点と $A_2''$ に属さない次数 2 の頂点からなる核心的部分グラフ $F$ は、極値的数え上げの本質的構造を捉えており、$\beta_\ell(F) = \beta_\ell(T)$ が成り立つ。