[論文レビュー] Generalized Stirling Numbers and Generalized Stirling Functions

Tian-Xiao He|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般化階乗関数、k-ガンマ関数、および差分商を用いて、一般化されたスターリング数および関数の統一的枠組みを提案する。古典的スターリング数の第一種および第二種、および多数の既知の一般化を、パrametric家族 S(n,k,α,β,r) に統合し、再帰的関係式、母関数、および3つのアルゴリズム（Riordanアレイに基づくものも含む）を確立することで、計算の効率性を実現する。

ABSTRACT

Here presented is a unified approach to Stirling numbers and their generalizations as well as generalized Stirling functions by using generalized factorial functions, $k$-Gamma functions, and generalized divided difference. Previous well-known extensions of Stirling numbers due to Riordan, Carlitz, Howard, Charalambides-Koutras, Gould-Hopper, Hsu-Shiue, Tsylova Todorov, Ahuja-Enneking, and Stirling functions introduced by Butzer and Hauss, Butzer, Kilbas, and Trujilloet and others are included as particular cases of our generalization. Some basic properties related to our general pattern such as their recursive relations and generating functions are discussed. Three algorithms for calculating the Stirling numbers based on our generalization are also given, which include a comprehensive algorithm using the characterization of Riordan arrays.

研究の動機と目的

• 古典的スターリング数の第一種および第二種の包括的一般化を構築すること。
• Riordan や Carlitz、Howard、Gould-Hopper、Tsylova などの多様な既存の拡張を、単一のパrametric枠組みに統合すること。
• 一般化スターリング数に対する再帰的関係式および指数型母関数を確立すること。
• 特にRiordanアレイの特徴付けに基づくアルゴリズムを含む、計算効率の高いアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 増分 α を持つ一般化階乗関数 ⟨z⟩_{n,α} を用いた、ニュートン型展開による一般化スターリング数 S(n,k,α,β,r) の定義：⟨z⟩_{n,−α} = Σ_{k=0}^n S(n,k,α,β,r) ⟨z−r⟩_{k,−β}。
• 一般化階乗多項式および k-ガンマ関数を用いて、ポッハマー記号を拡張し、一般化された上昇・下降階乗の定義を行う。
• 差分商および母関数技法を用いて、一般化数の再帰的および指数型母関数を導出する。
• Riordanアレイ理論を応用し、A-列および d(z) と h(z) の形をした母関数を用いて、一般化スターリング数を特徴付ける。
• α=0 または β=0 の特殊ケースに対応するため、A-列の計算を修正することで、Riordanアレイのアルゴリズムを適応させる。
• 生成関数の合成的逆関数、たとえば A(z) = z / h⁻¹(z) を用いて、係数の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的スターリング数の第一種および第二種は、どのように単一の一般化パラメトリック家族に埋め込まれるか？
• RQ2 一般化スターリング数 S(n,k,α,β,r) の再帰的および母関数表現は何か？
• RQ3 Howardの重み付き退化型、Carlitzのqアナロジー、Gould-Hopperの拡張などの既存の一般化は、この枠組みの特殊ケースとしてどのように回復されるか？
• RQ4 特にRiordanアレイに基づく統一的アルゴリズム的手法を用いて、これらの一般化スターリング数を効率的に計算できるか？
• RQ5 k-ガンマ関数および一般化階乗多項式は、この一般化を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 一般化スターリング数 S(n,k,α,β,r) は、古典的スターリング数を統合する：S(n,k,1,0,0) = s(n,k)（第一種）、S(n,k,0,1,0) = S(n,k)（第二種）、S(n,k,0,0,1) = C(n,k)（二項係数）。
• Howardの重み付き退化型スターリング数（α=1,β=1,r=−1）に対して、Riordanアレイは [k!/n! S(n,k)] = [[1,0,0,0,0], [-1,1,0,0,0], [1,-1,1,0,0], [-1,1,-1,1,0], [1,-1,1,-1,1]] として計算され、S(4,0)=24, S(4,1)=-24, S(4,2)=12, S(4,3)=-4, S(4,4)=1 が得られる。
• 第二種スターリング数（α=0,β=1,r=0）に対して、A-列生成関数は A(z) = z / ln(1+z) であり、係数 a₀=1, a₁=1/2, a₂=−1/12, a₃=1/24, a₄=−19/720 が得られる。
• S(n,k,0,1,0) のRiordanアレイは [k!/n! S(n,k)] = [[1,0,0,0,0], [0,1,0,0,0], [0,1/2,1,0,0], [0,1/6,1,1,0], [0,1/24,7/12,3/2,1]] であり、S(4,1)=1, S(4,2)=7, S(4,3)=6, S(4,4)=1 が得られる。
• 第一種スターリング数（α=1,β=0,r=0）に対して、A-列は A(z) = z / (e^z − 1) であり、a₀=1, a₁=−1/2, a₂=1/12, a₃=0, a₄=−1/720 が得られ、Riordanアレイ [k!/n! s(n,k)] は s(4,1)=−6, s(4,2)=11, s(4,3)=−6, s(4,4)=1 を生成する。