[論文レビュー] Generators of the cohomology ring of moduli spaces of sheaves on symplectic surfaces

Eyal Markman|ArXiv.org|Sep 11, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、特にK3表面を含むシンプレクティック表面上の層のモジュライ空間のコホロジー環が、ユニバーサル層のチャーン類によって生成されることを確立している。ユニバーサル拡張層の類を用いて積空間上の対角類を表現することで、n→∞の極限において安定なコホロジー環をなす一様な生成子の集合が得られ、ヒルベルトスキームおよびヒッグス束のモジュライ空間への応用が示されている。

ABSTRACT

Let M be a moduli space of stable sheaves on a K3 or Abelian surface S. We express the class of the diagonal in the cartesian square of M in terms of the Chern classes of a universal sheaf. Consequently, we obtain generators of the cohomology ring of M. When S is a K3 and M is the Hilbert scheme of length n subschemes, this set of generators is sufficiently small in the sense that there aren't any relations among them in the stable cohomology ring. When S is the cotangent bundle of a Riemann surface, we recover the result of T. Hausel and M. Thaddeus: The cohomology ring of the moduli spaces of Higgs bundles is generated by the universal classes.

研究の動機と目的

• K3面およびアーベル面上の安定層のモジュライ空間の有理コホロジー環に対する明示的な生成子を特定すること。
• K3面S上のn点のヒルベルトスキームS^{[n]}について、すべてのnに対して有効な一様な生成子の構成を確立すること。
• 有理コホロジー環H^*(S^{[n]}, ℚ)への重み付き多項式環からの誘導写像が、次数≤nで単射であること、したがってR^{[∞]}がn→∞の極限における安定コホロジー環であることを示すこと。
• リーマン面の余接 bundle への特殊化により、ヒッグス束モジュライ空間に関する既知の結果を回復すること。
• ユニバーサル層の類を用いて、コホロロジー上のモノドロミー作用素の基礎的な公式を提供し、導来自己同型と関連付けること。

提案手法

• M×M 上の対角類を、M×S 上のユニバーサル層の引き戻し間のExt層の導来双対の最高チャーン類として表現する。
• Ext²が恒等的に消える場合にポルテウスの公式を用い、対角類をユニバーサルExt類のc_mに還元する。
• S^{[n]}×S 上のユニバーサル層のチャーン類として、H^*(S^{[n]}, ℚ) のユニバーサルな生成子の集合を構成する。
• 無限個の変数を持つ重み付き多項式環から、H^*(S^{[n]}, ℚ) への次数付き環準同型 h: R^{[∞]} → H^*(S^{[n]}, ℚ) を定義する。
• h が次数≤nで単射であることを証明し、n→∞ の極限において R^{[∞]} が安定コホロジー環であることを確立する。
• この構成を応用し、S をリーマン面の余接 bundle に特殊化することで、ヒッグス束モジュライ空間に関する結果を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック表面上の安定層のモジュライ空間のコホロジー環の構造は何か？
• RQ2 M×M 上の対角類は、M×S 上のユニバーサル層のチャーン類で表現可能か？
• RQ3 ユニバーサルチャーン類は、このようなモジュライ空間の全有理コホロジー環を生成するのに十分か？
• RQ4 ヒルベルトスキームS^{[n]}について、n→∞ の極限における安定コホロジー環の構造は何か？
• RQ5 K3面上のムカイ格子の等長変換が、モジュライ空間のコホロジー環の自己同型にどのように引き上げられるか？

主な発見

• M×M 上の対角類は、ユニバーサル層の引き戻し間のExt層の導来双対のc_mとして与えられ、コホロジー環の生成子に対する公式が得られる。
• ヒルベルトスキームS^{[n]}について、コホロジー環H^*(S^{[n]}, ℚ) はH^2と4次元で23次元の部分空間B_4''によって生成され、環構造は1つの定数を除いて決定される。
• 写像h: R^{[∞]} → H^*(S^{[n]}, ℚ) は次数≤nで単射であり、n→∞ の極限においてR^{[∞]} が安定コホロジー環であることが確認された。
• S^{[3]} のコホロジー環のベッチ数は、b_4=299、b_6=2554、b_8=22450 であり、H^6 はuH^2 ⊕ V(3) ⊕ 1 ⊕ ∧^2 H^2 に分解される。
• H^2⊗B_4'' → H^6 の積は、自明部分と反対称部分に一意に単射に写り、三重積Sym^3(B_4'') → H^{12} は消えるため、環構造は1つの定数を除いて固定される。
• 固定された偶数kについて、b_k(S^{[n]}) はn≥kで安定し、b_n(S^{[n]})−b_n(S^{[n−2]})=24（n≥4の偶数）が成り立ち、これはH^*(S)およびB_nの次元と一致する。