[論文レビュー] Generic uniqueness and stability for the mixed ray transform

Maarten V. de Hoop, Teemu Saksala+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元の単純なリーマン多様体上における対称的1+1および2+2テンソル場の混合ラジアル変換について、一般の固有値と安定性を確立する。自然な核の障害を除き、可解性を証明し、正規化作用素の$L^2$-安定性推定を導出し、異方的摂動による弾性波の伝播時間と混合ラジアル変換を結びつける。これにより、横波の振幅が追加で測定された場合には完全な回復が可能となる。

ABSTRACT

We consider the mixed ray transform of tensor fields on a three-dimensional compact simple Riemannian manifold with boundary. We prove the injectivity of the transform, up to natural obstructions, and establish stability estimates for the normal operator on generic three dimensional simple manifold in the case of 1+1 and 2+2 tensors fields. We show how the anisotropic perturbations of averaged isotopic travel-times of qS-polarized elastic waves provide partial information about the mixed ray transform of 2+2 tensors fields. If in addition we include the measurement of the shear wave amplitude, the complete mixed ray transform can be recovered. We also show how one can obtain the mixed ray transform from an anisotropic perturbation of the Dirichlet-to-Neumann map of an isotropic elastic wave equation on a smooth and bounded domain in three dimensional Euclidean space.

研究の動機と目的

• 一般の3次元単純なリーマン多様体上における1+1および2+2テンソル場の混合ラジアル変換の可解性を、自然な核の障害を除き確立すること。
• 一般の3次元単純な多様体上における1+1および2+2ケースの混合ラジアル変換の正規化作用素の$L^2$-安定性推定を導出すること。
• $qS$-偏光の弾性波伝播時間の異方的摂動と2+2テンソル場の混合ラジアル変換に関する部分的情報を結びつけること。
• 横波の振幅が伝播時間に加えて測定された場合に、2+2テンソル場の混合ラジアル変換を完全に回復できることを示すこと。
• 3次元ユークリッド空間における等方的弾性波方程式のディリクレからノイマンへの写像の異方的摂動から、混合ラジアル変換が回復可能であることを示すこと。

提案手法

• 混合ラジアル変換は、測地線に沿った対称テンソル場の積分を、平行移動された直交ベクトルで重みづけたものとして定義される。
• 解析は、複素幾何的オプティクス解および振動積分の停留位相法を含む微局所的手法に依存する。
• 高周波数漸近展開と複素位相を用いた弾性波方程式の解の構成により、境界測定からテンソル情報の抽出が可能となる。
• 正規化作用素は、ディリクレからノイマンへの写像の構造を介して分析され、高周波数極限（$\varrho \to \infty$）における漸近展開が用いられる。
• 位相$\varphi$と振幅$u_0$を含む振動積分に停留位相法を適用し、混合ラジアル変換を回復する主要項が得られる。
• フェルミ座標と恒等式$\det(D^2\varphi)\cdot|\det Y_S|^2 \equiv c_0$の使用により、漸近解析の一貫性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元単純なリーマン多様体上における1+1および2+2テンソル場の混合ラジアル変換が、どのような条件下で可解となるか？
• RQ2 一般の3次元単純な多様体上における$L^2$-ノルムでの混合ラジアル変換の正規化作用素の安定性はいかほどか？
• RQ3 異方的摂動による$qS$-波伝播時間は、2+2テンソル場の混合ラジアル変換とどのように関係するか？
• RQ4 2+2テンソル場の完全な混合ラジアル変換は、弾性波データから回復可能か？さらにどのような測定が必要か？
• RQ5 3次元ユークリッド空間における等方的弾性波方程式のディリクレからノイマンへの写像から、混合ラジアル変換はどの程度回復可能か？

主な発見

• 一般の3次元単純な多様体上では、1+1および2+2テンソル場の混合ラジアル変換は、ポテンシャル場$(\nabla v)^{\mathcal{B}}$の自然な核を除き可解である。
• 一般の3次元単純な多様体上における1+1および2+2テンソル場の混合ラジアル変換の正規化作用素の$L^2$-ノルムにおける安定性推定が確立された。
• 異方的摂動による$qS$-偏光波の伝播時間は、2+2テンソル場の混合ラジアル変換に関する部分的情報を提供する。
• 横波の振幅が測定に加わることで、2+2テンソル場の混合ラジアル変換は完全に回復可能である。
• 3次元ユークリッド空間における等方的弾性波方程式のディリクレからノイマンへの写像の異方的摂動から、2+2テンソル場の混合ラジアル変換が回復された。
• 漸近解析により、恒等式$ \lim_{\varrho\to\infty} \varrho^{-1/2} \langle \dot{\Lambda}_{\mathbf{C}^0}(\mathbf{C})h_1, h_2 \rangle = \int_\vartheta \frac{C_{ijk\ell}}{\rho} c_S^2 \dot{\gamma}_i \eta_j \dot{\gamma}_k \eta_\ell \, dt $が得られ、混合ラジアル変換の回復が確認された。