[論文レビュー] Genericity and Rigidity for Slow Entropy Transformations

Terrence Adams|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、極めて遅いエントロピー行動を示す一般および剛性のある測度保存変換の存在を確立する。一般系は任意の非指数的増加率に対して上位の遅いエントロピーが無限大で、下位の遅いエントロピーがゼロとなる。一方、剛性で弱混合な系は、下位の遅いエントロピーが無限大に達することができる。これらの結果は、剛性変換における正の多項式的上位遅いエントロピーに関する未解決問題を解決し、遅いエントロピーがエントロピー収束速度よりも厳密に強い複雑性尺度であることを示す。明示的な構成により、上位遅いエントロピーがゼロであるが、任意の非線形収束速度を示す例が提示される。

ABSTRACT

The notion of slow entropy, both upper and lower slow entropy, was defined by Katok and Thouvenot as a more refined measure of complexity for dynamical systems, than the classical Kolmogorov-Sinai entropy. For any subexponential rate function $a_n(t)$, we prove there exists a generic class of invertible measure preserving systems such that the lower slow entropy is zero and the upper slow entropy is infinite. Also, given any subexponential rate $a_n(t)$, we show there exists a rigid, weak mixing, invertible system such that the lower slow entropy is infinite with respect to $a_n(t)$. This gives a general solution to a question on the existence of rigid transformations with positive polynomial upper slow entropy, Finally, we connect slow entropy with the notion of entropy covergence rate presented by Blume. In particular, we show slow entropy is a strictly stronger notion of complexity and give examples which have zero upper slow entropy, but also have an arbitrary sublinear positive entropy convergence rate.

研究の動機と目的

• 『KKW2020』の質問6.1.2において、正の多項式的上位遅いエントロピーを有する剛性変換の存在を確認すること。
• 遅いエントロピーの観点から、可逆測度保存系の一般的性質を特定すること、特に無限大の上位遅いエントロピーとゼロの下位遅いエントロピーの共存を明らかにすること。
• 遅いエントロピーとブリュームのエントロピー収束速度との関係を明確にし、遅いエントロピーがより強い複雑性尺度であることを示すこと。
• 任意の非指数的増加率関数に対して、無限大の下位遅いエントロピーを有する剛性で弱混合な系の明示的構成を行うこと。

提案手法

• 任意の発散する非指数的増加率関数に対して、上位遅いエントロピーが無限大で、下位遅いエントロピーがゼロとなる可逆測度保存系の稠密Gδ集合を構成する。
• 遅いエントロピー行動を制御するため、低エントロピーの左列（左列）と高エントロピーの右列（右列）を交互に配置する修正版のカットアンドスタック技法を用いる。
• 2番目のボレル＝カンテリの補題と条件付き独立性の推定を用いて、エルゴード性と弱混合性を保ちつつ剛性を維持する。
• 記号的力学系における正規化されたハミング距離とε-ボールを用い、エントロピー被覆数を定義し、分割の細分化による遅いエントロピーの分析を行う。
• 遅いエントロピーとブリュームのエントロピー収束速度を比較するため、率関数 b_n(t) = 2^{t a_n} を導入し、クラス間に真の包含関係が成り立つことを証明する。
• 分割エントロピー H(P_n) と被覆数 S_P(T,n,ε,δ) の測度論的推定を用いて、遅いエントロピーの漸近的上限を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式的増加率関数 a_n(t) = n^t に対して、剛性で弱混合かつ可逆測度保存変換が正の上位遅いエントロピーを持つ可能性は存在するか？
• RQ2 可逆測度保存系の空間における一般変換が、任意の非指数的増加率に対して、無限大の上位遅いエントロピーとゼロの下位遅いエントロピーを持つことは可能か？
• RQ3 遅いエントロピーとブリュームのエントロピー収束速度の関係は何か？また、遅いエントロピーはより強い複雑性尺度であるか？
• RQ4 上位遅いエントロピーがゼロであっても、正で任意の非線形収束速度を示すエントロピー収束率を持つ変換は存在するか？
• RQ5 与えられた非指数的増加率に対して、無限大または正の下位遅いエントロピーを持つ系の剛性列として実現可能なものは何か？

主な発見

• 任意の非指数的増加率関数 a_n(t) に対して、M における稠密Gδ集合 G ⊂ M が存在し、任意の T ∈ G は a_n(t) に関して無限大の上位遅いエントロピーを持つ。
• 任意の発散する非指数的増加率 a_n(t) に対して、M における稠密Gδ集合 G ⊂ M が存在し、任意の T ∈ G は a_n(t) に関してゼロの下位遅いエントロピーを持つ。
• 剛性で弱混合な変換の族 F ⊂ M が存在し、任意の非指数的増加率 a_n(t) に対して、ある T ∈ F が a_n(t) に関して無限大の下位遅いエントロピーを持つ。
• 遅いエントロピーはエントロピー収束速度よりも厳密に強い複雑性尺度である：上位遅いエントロピーがゼロであるが、任意の正の非線形収束速度を示す系が存在する。
• クラス G_{2^{ta_n}} は ES(a_n) の真の部分集合であることが示され、遅いエントロピーがブリュームの収束速度では捉えきれない複雑性を捉えていることがわかる。
• 修正版カットアンドスタックによる明示的構成により、上位遅いエントロピーがゼロだが、正規化されたエントロピーの上位極限が正である系が得られ、複雑性尺度間の真の階層が確認された。