[論文レビュー] Geography of Brill-Noether loci for small slopes

L. Brambila‐Paz, Ivona Grzegorczyk+1 more|ArXiv.org|Nov 6, 1995

Geology and Paleoclimatology Research参考文献 14被引用数 77

ひとこと要約

本稿は、滑らかで射影的な曲線（ genus $ g \geq 2 $）上の安定なベクトル束（ランク $ n $、次数 $ d $、$ 0 \leq d \leq n $）に対するBrill-Noether多様体の不可約性、期待次元、特異点集合を確立する。$ \mathcal{W}^{k-1}_{n,d} $ は、次元 $ \rho^{k-1}_{n,d} $ の不可約多様体であり、$ \mathcal{W}^k_{n,d} $ を除いて滑らかで、かつ $ d > 0 $、$ n \leq d + (n-k)g $、および $ (n,d,k) \neq (n,n,n) $ を満たすときかつそのときに限り非空である。半安定の場合についても同様に解析され、不可約性と明確な非空条件が示される。

ABSTRACT

Let $X$ be a non-singular projective curve of genus $g\ge2$ over an algebraically closed field of characteristic zero. Let $\mo$ denote the moduli space of stable bundles of rank $n$ and degree $d$ on $X$ and $\wn $ the Brill-Noether loci in $\mo .$ We prove that, if $0\leq d \leq n $ and $\wn $ is non-empty, then it is irreducible of the expected dimension and smooth outside $\wnn$. We prove further that in this range $\wn$ is non-empty if and only if $d>0$, $n\leq d+(n-k)g$ and $(n,d,k) ot= (n,n,n)$. We also prove irreducibility and non-emptiness for the semistable Brill-Noether loci.

研究の動機と目的

• ランク $ n $、次数 $ d $（$ 0 \leq d \leq n $）の安定ベクトル束に対するBrill-Noether多様体 $ \mathcal{W}^{k-1}_{n,d} $ の幾何的構造（特に不可約性、次元、特異点集合）を特定すること。
• すべての滑らかな曲線に対して、特に一般の曲線に限らない、小スロープ範囲における $ \mathcal{W}^{k-1}_{n,d} $ の完全な非空条件を確立すること。
• 半安定の場合への分析を拡張し、$ \widetilde{\mathcal{W}}^{k-1}_{n,d} $ の不可約性を証明し、非空条件を導出すること。

提案手法

• Brill-Noether数 $ \rho^{k-1}_{n,d} = n^2(g-1) + 1 - k(k - d + n(g-1)) $ を、多様体の期待次元として用いる。
• 変形理論および拡張技法を用いて、$ \mathcal{W}^{k-1}_{n,d} $ の局所構造と特異点を分析し、特に拡張 $ 0 \to \mathcal{O}^{n-1} \to E \to F \to 0 $ の役割に注目する。
• $ H^1(F^*) $ および $ H^1(F(-x)^*) $ を用いたコhomologicalな議論により、特定の拡張図式が存在できないことを示し、これにより余次元の条件を導く。
• ランクおよび次数に関する帰納的議論を用いて、特に $ d = n $ の半安定束に対して、不可約性および閉包性を証明する。
• $ S^nX \to \widetilde{\mathcal{W}}^{n-1}_{n,n} $ なる双対的な準同型写像を構成し、次数 $ n $ で $ n $ 個の切断を持つ半安定束を分類する。
• 対称積およびモジュライ空間の普遍性質を用いて、写像の存在および閉包性に関する結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ 0 \leq d \leq n $ のとき、Brill-Noether多様体 $ \mathcal{W}^{k-1}_{n,d} $ はいつ不可約か？
• RQ2 小スロープ範囲における $ \mathcal{W}^{k-1}_{n,d} $ の正確な次元および特異点集合は何か？
• RQ3 $ 0 \leq d \leq n $ のとき、安定束に対して $ \mathcal{W}^{k-1}_{n,d} $ が非空である条件は何か？
• RQ4 半安定Brill-Noether多様体 $ \widetilde{\mathcal{W}}^{k-1}_{n,d} $ の幾何的性質は、安定の場合とどのように異なるか？
• RQ5 ランク $ n $、次数 $ d = n $、$ k = n $ 個の切断を持つ半安定束の構造は完全に記述可能か？また、$ \widetilde{\mathcal{W}}^{n-1}_{n,n} $ は不可約か？

主な発見

• $ \mathcal{W}^{k-1}_{n,d} $ は、$ 0 \leq d \leq n $ かつ任意の滑らかな曲線（$ g \geq 2 $）に対して、非空であれば次元 $ \rho^{k-1}_{n,d} $ の不可約多様体である。
• $ \mathcal{W}^{k-1}_{n,d} $ の特異点集合はちょうど $ \mathcal{W}^k_{n,d} $ であり、この集合を除いては滑らかである。
• 安定多様体 $ \mathcal{W}^{k-1}_{n,d} $ は、$ d > 0 $、$ n \leq d + (n-k)g $、および $ (n,d,k) \neq (n,n,n) $ を満たすときかつそのときに限り非空である。
• 半安定多様体 $ \widetilde{\mathcal{W}}^{k-1}_{n,d} $ は、すべての $ n \geq 2 $、$ 0 \leq d \leq n $、$ k \geq 1 $ に対して不可約である。
• $ d = n $ のとき、$ \widetilde{\mathcal{W}}^{n-1}_{n,n} $ は、$ n $ 次対称積 $ S^nX $ に同型であり、双対的な準同型写像により与えられる。
• $ k < n $ のとき、$ \widetilde{\mathcal{W}}^{k-1}_{n,n} $ のすべての点は、安定多様体 $ \mathcal{W}^{k-1}_{n,n} $ の閉包に属し、これにより半安定多様体の不可約性が保証される。