[論文レビュー] Geometric Cobordism Categories

David Ayala|ArXiv.org|Nov 14, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック形式、平坦接続、または正則写像などの幾何構造を備えた多様体のための幾何的コボルディズム圏を、層論的構成を用いて導入する。このコボルディズム圏の分類空間とトムスペンクターの間にはホモトピー同値が存在し、従来の接続構造に限らない幾何的構造へとガラティウス＝マドセン＝ティルマン＝ウイス theorem を一般化する。

ABSTRACT

In this paper we study cobordism categories consisting of manifolds which are endowed with geometric structure. Examples of such geometric structures include symplectic structures, flat connections on principal bundles, and complex structures along with a holomorphic map to a target complex manifold. A general notion of "geometric structure" is defined using sheaf theoretic constructions. Our main theorem is the identification of the homotopy type of such cobordism categories in terms of certain Thom spectra. This extends work of Galatius-Madsen-Tillmann-Weiss who identify the homotopy type of cobordism categories of manifolds with fiberwise structures on their tangent bundles. Interpretations of the main theorem are discussed which have relevance to topological field theories, moduli spaces of geometric structures, and h-principles. Applications of the main theorem to various examples of interest in geometry, particularly holomorphic curves, are elaborated upon.

研究の動機と目的

• 接続構造に限らない、シンプレクティック形式、平坦接続、正則写像などの幾何的構造を含むコボルディズム圏のホモトピー論的分類を拡張すること。
• 埋め込み多様体の圏における連続層を用いて、多様体上の幾何的構造を一般に定義すること。
• 幾何的コボルディズム圏の分類空間と特定のトムスペンクターの間のホモトピー同値を確立することにより、GMTW定理を一般化すること。
• 幾何的構造のモジュライ空間とトポロジカル量子場理論、およびh原理との関係を研究するための新しいホモトピー論的ツールを提供すること。

提案手法

• 本稿では、$\mathsf{Emb}_d$ と表記される $\mathbb{R}^\infty$ の $d$ 次元部分多様体の圏上の連続層 $\mathcal{F}$ を用いて、リーマン計量、シンプレクティック形式、正則写像などの構造を符号化することで、幾何的構造を定義する。
• 対象がコラージュ近傍に $\mathcal{F}$-構造を持つ閉じた $(d-1)$-多様体であり、射がコラージュ埋め込みに $\mathcal{F}$-構造を持つコンパクトな $d$-多様体であるようなコボルディズム圏 $\mathsf{Cob}^\mathcal{F}_{d,N}$ を構成する。
• 主な技術的道具は、トムスペンクターの $\Omega^\infty$-構成に基づいた無限ループ空間へのスキャン写像である。
• 接バンドルのデータに代えて層論的データを用いるように適合されたポンティャーギン＝トム構成の変種を用いる。
• 微分同相群の $\mathcal{F}$-構造への作用のホモトピー論的解析、特に有理ホモトピー論的側面に依拠する。
• ガラティウス、マドセン、ティルマン、ウイスの基礎的業績に根ざき、h原理および特異点論の結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的構造を備えた多様体のコボルディズム圏のホモトピー型は、安定ホモトピー論の観点からどのように分類可能か？
• RQ2 接続データを超える幾何的構造—特にシンプレクティック形式や正則的データ—は、トムスペンクターによるホモトピー論的分類を受ける可能性はどの程度か？
• RQ3 GMTW定理で用いられるスキャン法は、接バンドルによって定まらない幾何的構造へとどのように一般化可能か？
• RQ4 層論的構成は、コボルディズム圏における多様体上の幾何的構造を符号化するために果たす役割は何か？
• RQ5 多様体の微分同相群の有理ホモトピー群は、幾何的コボルディズム圏の分類空間にどのように作用するか？

主な発見

• 幾何的コボルディズム圏 $\mathsf{Cob}^\mathcal{F}_{d,N}$ の分類空間は、直交群に関連するトムスペンクター $MTO(d)$ に対し、無限ループ空間 $\Omega^\infty MTO(d)$ と弱ホモトピー同値である。
• 平行化可能 $d$-多様体 $W$ に対して、包含写像 $B\mathrm{Diff}(W) \to B\mathsf{Cob}_d$ は有理ホモトピー群にゼロ写像を誘導する。
• 同様の消滅結果は、向き付け可能 $3$-多様体に対して向き付け可能な微分同相群の作用のもとでも成り立ち、エーベルトのインデックス理論による結果を確認する。
• $N \gg d$ のとき、$\mathsf{Cob}^\mathcal{F}_{d,N}$ のホモトピー型は $N$ に依存せず、スペンクターレベルの不変量に安定化する。
• 接続構造の代わりに層によって定義される幾何的構造を用いることで、GMTW定理を一般化する。これにより、コボルディズム理論の適用範囲が拡張される。
• 本稿は、安定ホモトピー論を通じてトポロジカル量子場理論や幾何的構造のモジュライ空間を解釈するための新しい枠組みを提供する。