[論文レビュー] Geometric Endoscopy and Mirror Symmetry

Edward Frenkel, Edward Witten|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 34被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、幾何的ラングランズ対応の文脈において、特異ヒチン・ファイバー上のT双対性の振る舞いを分析することで、有限自己同型群をもつ局所的系（エンドスコピック・データ）に対応する、幾何的エンドスコピーを検討する。ミラー対称性および双対ファイバー上のAブレーンのカテゴリを用いて、L群側のZ₂-軌道特異点に支持されるBブレーンが、二つの既約成分を持つAブレーンに双対化されることを示し、ヒチン系における特異ファイバー構造とエンドスコピック現象の正確な対応関係を明らかにする。

ABSTRACT

The geometric Langlands correspondence has been interpreted as the mirror symmetry of the Hitchin fibrations for two dual reductive groups. This mirror symmetry, in turn, reduces to T-duality on the generic Hitchin fibers, which are smooth tori. In this paper we study what happens when the Hitchin fibers on the B-model side develop orbifold singularities. These singularities correspond to local systems with finite groups of automorphisms. In the classical Langlands Program local systems of this type are called endoscopic. They play an important role in the theory of automorphic representations, in particular, in the stabilization of the trace formula. Our goal is to use the mirror symmetry of the Hitchin fibrations to expose the special role played by these local systems in the geometric theory. The study of the categories of A-branes on the dual Hitchin fibers allows us to uncover some interesting phenomena associated with the endoscopy in the geometric Langlands correspondence. We then follow our predictions back to the classical theory of automorphic functions. This enables us to test and confirm them. The geometry we use is similar to that which is exploited in recent work by B.-C. Ngo, a fact which could be significant for understanding the trace formula.

研究の動機と目的

• 特異ヒチン・ファイバー、特にエンドスコピック局所的系に対応する軌道特異点をもつ場合の幾何的ラングランズ対応を理解すること。
• 滑らかなヒチン・ファイバー間の既知のT双対性を、特に構造群がO₂に還元されるSO₃局所的系から生じるZ₂-軌道特異点を含む特異ファイバーへ拡張すること。
• 特異ファイバー上のAブレーンの双対カテゴリを分析することで、エンドスコピーが幾何的ラングランズプログラムにおいて果たす役割を明確化すること。
• ヒッグス束およびモノドロミー情報の幾何学を用いて、物理的フレームワークに基づくミラー対称性と、自動形式における古典的エンドスコピーを結びつけること。

提案手法

• ストロミンジャー＝ヤウ＝ザスロウ（SYZ）フレームワークを用い、双対群GとᴸGのヒチン・ファイブレーションのミラー対称性として幾何的ラングランズ双対性を解釈する。
• ファイバーごとのT双対性を用いて、L群側のBブレーンとG群側のAブレーンを、特異ファイバーに対しても結びつける。
• M_H(ᴸG)上のZ₂-軌道特異点に支持されるBブレーンを分析し、これは構造群がO₂に還元されるSO₃局所的系で、自己同型群がZ₂であるものに対応する。そのカテゴリがRep(Z₂)に同値であることを示す。
• 種数1曲線上のSO₃局所的系のモノドロミー表現とホロノミー表現を用い、構造群がO₂に還元される場合を分類し、w₂類によって状況を区別する。
• 4次元ゲージ理論のS双対性フレームワークを適用し、Aブレーンのカテゴリとヘッケ作用素、固有ブレーンを結びつける。
• 特異ファイバー上のAブレーンの導来カテゴリを、B.-C. ノウのトレース公式に関する研究を介して、古典的エンドスコピー理論と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T双対性は、ヒチン・ファイブレーションの特異ファイバー、特にZ₂-軌道特異点に支持されるBブレーンにどのように作用するか？
• RQ2 有限自己同型群をもつエンドスコピック局所的系に支持されるBブレーンの双対Aブレーンカテゴリは何か？
• RQ3 種数1曲線上の構造群がO₂に還元されるSO₃局所的系のモノドロミー表現は、ヒチン・ファイブレーションの特異ファイバーをどのように分類するか？
• RQ4 特異ヒチン・ファイバーの幾何学は、ラングランズプログラムにおける古典的エンドスコピーをどのように反映するか？
• RQ5 双対ファイバー上のAブレーンカテゴリは、Rep(Z₂)に対応する二つの既約成分をどのように符号化するか？

主な発見

• L群側のZ₂-軌道特異点に支持されるBブレーンのカテゴリは、Rep(Z₂)に同値であり、これは二つの既約対象を持つ。
• G群側ファイバー上のAブレーンの双対カテゴリには、Z₂の二つの既約表現に対応する正確に二つの既約成分が存在し、双対性の予測を確認する。
• 種数1曲線上の位数2の非自明なラインバンドルSに対して、自己同型群がZ₂であるSO₃局所的系が正確に二つ存在し、第二ステイフェル＝ブリュア類w₂の値によって区別される。
• w₂ = 0のとき、SO₃局所的系はM_H(C;SO₃,0)のファイバー上にZ₂-軌道特異点に対応する。w₂ ≠ 0のとき、それはM_H(C;SO₃,θ)上に現れ、トポロジー的に区別される。
• SO₂内のV₂² = M⁻¹の二つの解、V₂ → -V₂に変わるものは、Z₂自己同型をもつ二つの異なるSO₃局所的系に対応し、一方のケースでw₂が非ゼロであるため、位相的に同値でない。
• 解析により、Z₂-軌道構造を持つ特異ファイバーは、楕円的エンドスコピーに対応するものに限りなく、そのAブレーンカテゴリは幾何的ラングランズ対応における期待されるエンドスコピック・データと一致することが確認された。