[論文レビュー] Geometry and braiding of Stokes data; Fission and wild character varieties

Philip Boalch|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、リーマン面における不規則な有理型接続からのステークスデータを組み込むことによって、複素数の表現多様体を一般化する新しい代数的ポアソン多様体を構成する。準ハミルトニアン枠組みを用いて、不規則型を有する有理型接続とステークス拡張された基本群族の表現との間の対応を確立し、分岐（不規則）設定においてマッピングクラス群作用をぶらしゅる構造を通じて一般化する。

ABSTRACT

A family of new algebraic Poisson varieties will be constructed, generalising the complex character varieties of Riemann surfaces. Then the well-known (Poisson) mapping class group actions on the character varieties will be generalised.

研究の動機と目的

• 有理型接続の不規則特異点を有するモジュライ空間へのキャラクター多様体の代数的ポアソン構造およびシンプレクティック構造の拡張。
• 複素再帰的群の文脈におけるステークスデータの幾何的・代数的枠組みの提供。
• ぶらしゅる構造によるキャラクター多様体上のマッピングクラス群作用の分岐（不規則）ケースへの一般化。
• 不規則型を有する有理型接続とステークス拡張された基本群族の表現との間の対応の確立。
• 高次分離空間およびフィルター付きステークス局所系を、分岐キャラクター多様体の構成と分類のための道具として導入。

提案手法

• 複素再帰的群 $G$ への Stokes 拡張された基本群族 $\Pi$ の準同型の空間に、$G^m$-空間としての準ハミルトニアン構造を構成する。
• ステークス表現 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{S}}(\Pi,G)$ を、単位的部分群によるステークスデータの組み込みを通じて、モノドロミー表現の一般化として導入する。
• 準ハミルトニアン還元 $\mu^{-1}(\mathcal{C})/G^m$ を用いて、不規則接続のモジュライ空間のシンプレクティック葉と同型な代数的ポアソン多様体を構成する。
• 形式的型 $Q_i = \sum A_i/z^{k_i}$ を有する不規則曲線を定義し、フィルター付きステークス局所系を用いて関連するベッチデータを構成する。
• 多重和分およびエカレの理論を適用し、ステークスデータを単位的部分群の要素として記述し、明示的なコycle表現を可能にする。
• ステークス群 $\mathcal{R}(d)$ および $\mathcal{R}(d,k)$ が正の根の部分集合として閉じていることを証明し、リー代数上の実線形関数型を用いてその代数的構造を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則特異点を有する有理型接続のモジュライ空間を代数的に構成し、ポアソン構造を備える方法は何か？
• RQ2 キャラクター多様体上のマッピングクラス群作用の自然な一般化は、分岐（不規則）ケースにおいてどのように得られるか？
• RQ3 不規則接続からのステークスデータは、ステークス構造を備えた基本群族の表現とどのように対応するか？
• RQ4 フィルター付きステークス局所系は、分岐しない形式的型を有する正則 $\mathcal{D}$-加群の分類において果たす役割は何か？
• RQ5 特に根の組み合わせに対する閉包性を含め、ステークス群の代数的構造をどのように厳密に確立できるか？

主な発見

• ステークス表現の空間 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{S}}(\Pi,G)$ は、滑らかでアフィンな多様体であり、$G^m$-作用と群値のモーメント写像を備える。
• 準ハミルトニアン還元 $\mu^{-1}(\mathcal{C})/G^m$ は、不規則接続のモジュライ空間のシンプレクティック葉と同型な代数的ポアソン多様体を導く。
• 各穴に不規則型 $Q_i$ を有する接続は、$\operatorname{Hom}_{\mathbb{S}}(\Pi,G)$ 内の $\mathbf{H}$-軌道と双対的に対応し、不規則ケースへのリーマン＝ヒルベルト対応の一般化を実現する。
• $\mathcal{R}(d)$ および $\mathcal{R}(d,k)$ は、方向 $d$ において最大の減衰を示す根の集合であり、正の整数の組み合わせに関して閉じており、共通の正の根の集合に含まれる。
• すべての $\alpha \in \mathcal{R}(d)$ に対して $\alpha(\lambda) > 0$ を満たす実線形関数型 $\lambda \in \mathfrak{t}_{\mathbb{R}}$ の存在は、$\mathcal{R}(d)$ が正の根系に含まれることを示す。
• フィルター付きステークス局所系は、分岐しない形式的型を有するパラホリックバンドルのための準ハミルトニアン空間の構成を可能にする、不規則ケースにおける単純なフィルター付き局所系の一般化である。