[論文レビュー] Geometry of regular Hessenberg varieties

Hiraku Abe, Naoki Fujita+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、複素単純リー群内の非可約正則ヘッセンバーグ多様体について、構造層の高次のコホモロジー群が消えることを確立し、既知の正則正則半単純ヘッセンバーグ多様体に対する結果を一般化する。さらに、このような多様体の平坦族のファイバーがスキーム論的に非特異的であることを証明し、Borel-Weil-Bott理論および局所定義イデアルを用いてコホモロジー、ピック群、およびフラッグ多様体内の射影埋め込みへの応用を示す。

ABSTRACT

Let $\mathfrak{g}$ be a complex semisimple Lie algebra. For a regular element $x$ in $\mathfrak{g}$ and a Hessenberg space $H\subseteq \mathfrak{g}$, we consider a regular Hessenberg variety $X(x,H)$ in the flag variety associated with $\mathfrak{g}$. We take a Hessenberg space so that $X(x,H)$ is irreducible, and show that the higher cohomology groups of the structure sheaf of $X(x,H)$ vanish. We also study the flat family of regular Hessenberg varieties, and prove that the scheme-theoretic fibers over the closed points are reduced. We include applications of these results as well.

研究の動機と目的

• 正則半単純ヘッセンバーグ多様体における高次コホモロジー群の消滅を、適切な非可約性条件の下で任意の正則ヘッセンバーグ多様体へ一般化すること。
• リー代数内の正則元によってパラメータ付けられる正則ヘッセンバーグ多様体の平坦族を研究すること。
• この族のスキーム論的ファイバーが非特異的であることを証明し、タイプAにおける既知の結果を拡張すること。
• これらの結果を用いて、射影埋め込みの体積を計算し、ピック群と第二整数コホモロジー群の間の同型を確立すること。

提案手法

• 正則元 x およびボレル部分代数を含み、その随伴作用に関して安定なヘッセンバーグ空間 H を用いて、旗多様体 G/B 内の部分多様体として正則ヘッセンバーグ多様体を定義する。条件 Ad(g⁻¹)x ∈ H を満たす。
• 得られる正則ヘッセンバーグ多様体 X(x,H) の非可約性を保証するため、H に条件 (†) を課す。
• X(x,H) の局所定義イデアルを G/B 内で特定し、[28] および [1] の結果を一般化して、局所的なスキーム構造を記述する。
• G/B 上のラインバンドのコホモロジーを計算するために Borel-Weil-Bott 定理を適用し、これにより X(x,H) の構造層のコホモロジーを制御する。
• G/B × g_reg における条件 Ad(g⁻¹)x ∈ H を用いたファイバー積を通じて、平坦族 X_reg(H) → g_reg を構成し、射影 π の平坦性を証明する。
• 局所定義イデアルと平坦性を用いて、正則元および共役作用の性質を活用し、すべての閉点におけるスキーム論的ファイバー π⁻¹(x) が非特異的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約正則ヘッセンバーグ多様体について、正則半単純の場合を越えて、構造層の高次コホモロジー群が消えるか？
• RQ2 正則元の空間上にパラメータ付けられたヘッセンバーグ多様体の族は平坦か？ また、そのファイバーは非特異的か？
• RQ3 正則ヘッセンバーグ多様体の局所定義イデアルは、その K-理論的類やコホモロジー的不変量とどのように関係するか？
• RQ4 コホモロジー的消滅と非特異的ファイバーの結果が、これらの多様体の幾何学および射影埋め込みに与える影響は何か？
• RQ5 一般の正則ヘッセンバーグ多様体について、ピック群と第二整数コホモロジー群の間の同型を確立できるか？

主な発見

• X(x,H) の構造層の高次コホモロジー群は消える：すべての i > 0 に対して Hⁱ(X,𝒪_X) = 0。
• X(x,H) のピック群はその第二整数コホモロジー群に同型である：Pic(X(x,H)) ≅ H²(X(x,H);ℤ)。
• G/B 上の連続層の K-理論における X(x,H) の類は、正則元 x の選び方に依存しない。
• 平坦族 π: X_reg(H) → g_reg のスキーム論的ファイバーは、すべての閉点で非特異的である。
• G/B からの非常に豊富なラインバンドを用いた X(x,H) の射影埋め込みの体積は、平坦族およびコホモロジー的データを用いて計算される。
• X(x,H) の局所定義イデアルは明示的に決定され、以前の結果を一般化し、Borel-Weil-Bott理論によるコホモロジー的制御を可能にする。