[論文レビュー] Gibbs States and the Consistency of Local Density Matrices

Yi-Kai Liu|ArXiv.org|Mar 2, 2006

Quantum Information and Cryptography参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、nキュービット量子系の任意の一貫性を持つ局所的密度行列の集合が、Gibbs状態—形式 σ′ = (1/Z)exp(∑Mi) の熱平衡状態—によってシミュレート可能であることを証明する。主な結果は、局所的密度行列がある正定値グローバル状態と一貫している場合、それらはGibbs状態とも一貫している、という点である。非可換な観測可能量が存在する場合でさえも成り立つ。

ABSTRACT

Suppose we have an n-qubit system, and we are given a collection of local density matrices rho_1,...,rho_m, where each rho_i describes some subset of the qubits. We say that rho_1,...,rho_m are "consistent" if there exists a global state sigma (on all n qubits) whose reduced density matrices match rho_1,...,rho_m. We prove the following result: if rho_1,...,rho_m are consistent with some state sigma > 0, then they are also consistent with a state sigma' of the form sigma' = (1/Z) exp(M_1+...+M_m), where each M_i is a Hermitian matrix acting on the same qubits as rho_i, and Z is a normalizing factor. (This is known as a Gibbs state.) Actually, we show a more general result, on the consistency of a set of expectation values ,...,, where the observables T_1,...,T_r need not commute. This result was previously proved by Jaynes (1957) in the context of the maximum-entropy principle; here we provide a somewhat different proof, using properties of the partition function.

研究の動機と目的

• 量子系からの局所的密度行列がグローバルなGibbs状態によってシミュレート可能かどうかを特定すること。
• 局所的量子データがグローバルな量子状態と一貫するための条件を確立すること。
• 有限量子系における非可換な観測可能量へとJaynesの最大エントロピー原理を一般化すること。
• 正定値グローバル状態が存在する限り、すべての局所的制約と一致するGibbs状態の存在が保証されることを示すこと。

提案手法

• 重ね合わせる部分系における縮約密度行列の一致として、局所的密度行列の一貫性を形式化すること。
• パウリ演算子の期待値に関する制約満たし問題に一貫性問題を再定式化すること。
• 分配関数と凸性の議論を用いて、最小化Gibbs状態の存在を証明すること。
• 変分法を適用し、分配関数が無限大に発散することを示し、最小値の存在を保証すること。
• 分配関数の最小値がすべての局所的制約と一致するGibbs状態に対応することを証明すること。
• 局所的密度行列の一貫性問題をパウリ期待値制約の集合に還元し、その後定理2を適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の一貫性を持つ局所的密度行列の集合は、Gibbs状態によって表現可能か？
• RQ2 正定値グローバル状態の存在が、すべての局所的制約と一致するGibbs状態の存在を保証するのに十分か？
• RQ3 最大エントロピー原理は、有限量子系における非可換な観測可能量へと拡張可能か？
• RQ4 観測可能量が非可換であっても、局所的量子データの一貫性がGibbs状態によって保証可能か？
• RQ5 分配関数は、局所的制約に対するGibbs状態の実現可能性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 局所的密度行列 ρ₁,…,ρₘ が、ある正定値グローバル状態 σ と一貫している場合、それらはGibbs状態 σ′ = (1/Z)exp(∑Mi) とも一貫している。ここで各 Mi は対応する部分系上で作用する。
• この結果は、観測可能量（例：パウリ行列）が非可換であっても成り立つ。Jaynesの最大エントロピー原理が非可換制約へと拡張されたことを示している。
• 局所的制約を満たすグローバル状態の存在は、同じ局所的性質を持つGibbs状態の存在を示唆する。
• 分配関数 ψ(θ) は、‖θ‖ → ∞ のとき ∞ に発散するため、最小値の存在が保証される。
• 分配関数の最小値は有限な点で達成され、その勾配はそこで消える。これにより解の存在が確認される。
• 証明は問題をパウリ期待値に還元し、局所的密度行列の一貫性が、それぞれの部分系におけるすべてのパウリ演算子期待値の一致と同値であることを示している。