[论文解读] Global-in-time probabilistically strong and Markov solutions to stochastic 3D Navier--Stokes equations: existence and non-uniqueness

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文证明了在加法迹类噪声下的随机三维纳维-斯托克斯方程存在无穷多组全局时间内的概率强解与解析弱解，证明了概率测度下的非唯一性以及马尔可夫过程的非唯一性。结果通过凸积分法与间歇性射流方法的随机化实现，解决了随机流体动力学领域长期悬而未决的开放问题。

ABSTRACT

We are concerned with the three dimensional incompressible Navier--Stokes equations driven by an additive stochastic forcing of trace class. First, for every divergence free initial condition in $L^{2}$ we establish existence of infinitely many global-in-time probabilistically strong and analytically weak solutions, solving one of the open problems in the field. This result in particular implies non-uniqueness in law. Second, we prove non-uniqueness of the associated Markov processes in a suitably chosen class of analytically weak solutions satisfying a relaxed form of an energy inequality. Translated to the deterministic setting, we obtain non-uniqueness of the associated semiflows.

研究动机与目标

• 解决加法迹类噪声下随机三维纳维-斯托克斯方程全局时间概率强解存在的开放问题。
• 为任意 $L^2$ 初始数据的随机纳维-斯托克斯方程建立概率测度下的非唯一性。
• 证明满足松弛能量不等式的解析弱解类中马尔可夫过程的非唯一性。
• 将凸积分方法扩展至随机设置，将确定性技术适配于随机偏微分方程。
• 表明在三维纳维-斯托克斯背景下，随机噪声并不能保证路径唯一性或马尔可夫选择。

提出的方法

• 通过缩放截断函数与周期化构造的间歇性射流，将凸积分方法适配于随机偏微分方程。
• 通过迭代凸积分构造速度增量 $v_{q+1}$ 与雷诺应力 $\mathring{R}_{q+1}$，确保能量控制与无散度结构。
• 利用随机平滑化与参数化射流族 $W_{(\xi)}$ 及校正项 $W_{(\xi)}^{(c)}$，使方程在误差项范围内满足随机纳维-斯托克斯方程。
• 应用概率扩展至鞅解，借助可测选择定理实现非唯一马尔可夫过程的选择。
• 采用参数 $r_\perp \ll r_\| \ll 1$，$\lambda \gg 1$，$\mu \gg 1$ 的间歇性射流，实现高频振荡与能量集中。
• 使用具有紧台集与零均值的归一化函数 $\phi$，$\Phi$，$\psi$ 构造无散度速度场，并通过 $L^p$-估计控制范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为加法迹类噪声下的随机三维纳维-斯托克斯方程构造全局时间内的概率强解？
• RQ2 对于任意 $L^2$ 初始数据的随机三维纳维-斯托克斯方程，是否会出现概率测度下的非唯一性？
• RQ3 能否从满足松弛能量不等式的解析弱解类中选择出非唯一的马尔可夫过程？
• RQ4 在解的唯一性方面，随机噪声在多大程度上对三维纳维-斯托克斯方程起到正则化作用？
• RQ5 凸积分方法能否被扩展至随机设置，以生成非唯一解？

主要发现

• 对于 $L^2$ 中任意无散度初始条件，随机三维纳维-斯托克斯方程存在无穷多组全局时间内的概率强解与解析弱解。
• 建立了概率测度下的非唯一性，即解的分布并非由初始数据唯一确定。
• 在满足松弛能量不等式的适当选取的解析弱解类中，证明了马尔可夫过程的非唯一性。
• 结果意味着通过概率提升，在确定性设定下，相关半流的非唯一性亦可推出。
• 该构造依赖于凸积分方法的随机化，利用间歇性射流与校正项控制雷诺应力。
• 该方法实现了速度增量与应力项所需的 $L^p$-范数估计，其界依赖于参数 $r_\perp$，$r_\|$，$\lambda$，$\mu$。