[論文レビュー] Global Sensitivity Analysis via Multi-Fidelity Polynomial Chaos Expansion

Pramudita Satria Palar, Lavi Rizki Zuhal+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、スペクトル射影とスパースグリッド統合を用いて低精度および補正PCEモデルを組み合わせることで、グローバル感度解析を高速化する多精度多項式混沌拡張（MF-PCE）フレームワークを提案する。Sobolの感度指数を用いた解析において、5つの不確実パrameterを有する非粘性超音速翼型のケースで、計算コストを63.34％削減（単一精度PCEの36.66％に）しつつも、高い精度を維持した。

ABSTRACT

The presence of uncertainties are inevitable in engineering design and analysis, where failure in understanding their effects might lead to the structural or functional failure of the systems. The role of global sensitivity analysis in this aspect is to quantify and rank the effects of input random variables and their combinations to the variance of the random output. In problems where the use of expensive computer simulations are required, metamodels are widely used to speed up the process of global sensitivity analysis. In this paper, a multi-fidelity framework for global sensitivity analysis using polynomial chaos expansion (PCE) is presented. The goal is to accelerate the computation of Sobol sensitivity indices when the deterministic simulation is expensive and simulations with multiple levels of fidelity are available. This is especially useful in cases where a partial differential equation solver computer code is utilized to solve engineering problems. The multi-fidelity PCE is constructed by combining the low-fidelity and correction PCE. Following this step, the Sobol indices are computed using this combined PCE. The PCE coefficients for both low-fidelity and correction PCE are computed with spectral projection technique and sparse grid integration. In order to demonstrate the capability of the proposed method for sensitivity analysis, several simulations are conducted. On the aerodynamic example, the multi-fidelity approach is able to obtain an accurate value of Sobol indices with 36.66% computational cost compared to the standard single-fidelity PCE for a nearly similar accuracy.

研究の動機と目的

• 高価なPDEソルバーを伴う高精度工学的シミュレーションにおけるグローバル感度解析の計算負荷を低減すること。
• 低精度および補正モデルを活用して高精度出力分散を効率的に近似する多精度PCEフレームワークを開発すること。
• 繰り返し高精度評価を必要とせずに、統合されたMF-PCEモデルから正確なSobol感度指数を計算すること。
• 代数的および工学的テストケースにおいて、MF-PCEと単一精度PCEとの間の効率性と精度のトレードオフを評価すること。
• MF-PCEが顕著な計算コストの利点を示す条件、特に精度相関およびコスト比の観点から特定すること。

提案手法

• 低精度シミュレーションに基づき、スペクトル射影とスパースグリッド統合を用いて低精度PCEを構築する。
• 同じスペクトル射影技術を用いて、高精度と低精度出力の差異をモデル化することで補正PCEを構築する。
• 低精度PCEと補正PCEを統合し、高精度応答を近似する1つの多精度PCEモデルを構築する。
• 統合されたMF-PCEの係数から、後処理ステップで直接Sobol感度指数を計算する。
• 高次元入力空間における効率的統合を可能にするために、スパースグリッド求積法を用いる。
• 係数の減衰解析を通じて、モデルの複雑さと精度選択をガイドする適応的サンプリングの原則を暗黙的に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多精度PCEは、高価なシミュレーションを伴う工学的問題において、グローバル感度解析の計算コストを顕著に低減しつつも、精度を維持できるか？
• RQ2 低精度および高精度モデル間の相関が、MF-PCEによるSobol指数の精度にどのように影響するか？
• RQ3 計算コストを最小限に抑えつつ、工学的レベルの精度を達成するための、低精度および補正モデルの最適な複雑さのバランスは何か？
• RQ4 MF-PCEが単一精度PCEを上回る計算効率および誤差低減の観点で、どのような条件下で優位性を示すか？
• RQ5 PCE係数の減衰パターンは、MF-PCE応用における効果的な低精度モデルの選定を示唆できるか？

主な発見

• 5つの不確実パrameterを有する非粘性超音速翼型のケースにおいて、MF-PCE手法は単一精度PCEとほぼ同一の精度を達成しながら、計算コストをわずかに36.66％にまで削減した。
• 平均絶対相対誤差（MARE）が低下し、決定係数（r²）が向上したため、精度と収束性が精度レベルの上昇に伴い向上していることが示された。
• 低精度と高精度モデル間の相関が1に近い場合、低精度PCE単体でも高精度PCEとほぼ同一のSobol指数を生成した。これは、さらなるコスト削減の可能性を示唆している。
• 補正PCEモデルは高精度PCEに比べて著しく単純であったため、この文脈では低精度モデルが多精度モデリングの適切な基盤であることが示された。
• 係数が小さい多項式項（40番目以降）では、低精度PCEと高精度PCEの間で挙動が乖離し始めた。これは、高精度挙動を捉えるために補正PCEが果たす重要な役割を強調している。
• 低精度関数と高精度関数の計算コスト比が1/4未満であることが、MF-PCEが単一精度PCEよりもネット効率的になるための条件である。