[論文レビュー] Global Strong Solutions to Incompressible Nematic Liquid Crystal Flow

Jinkai Li|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、初期データのノルムが小さい場合でさえも、真空中を含む2次元および3次元で非圧縮性ネマチック液体結晶流れに対する強い解の全域的存在および一意性を確立する。局所的強い解に対する時間に依存しない事前推定を導出し、その解を時間全域に拡張することで、真空中に起因する爆発の可能性や、配向場における異方的効果の影響を克服する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Dirichlet problem of inhomogeneous incompressible nematic liquid crystal equations in bounded smooth domains of two or three dimensions. We prove the global existence and uniqueness of strong solutions with initial data being of small norm but allowed to have vacuum. More precisely, for two dimensional case, we only require that the basic energy $|\sqrt{ρ_0}u_0|_{L^2}^2+| abla d_0|_{L^2}^2$ is small, while for three dimensional case, we ask for the smallness of the production of the basic energy and the quantity $| abla u_0|_{L^2}^2+| abla^2d_0|_{L^2}^2$. Our efforts mainly center on the establishment of the time independent a priori estimate on local strong solutions. Taking advantage of such a priori estimate, we extend the local strong solution to the whole time, obtaining the global strong solution.

研究の動機と目的

• 有界で滑らかな領域における非圧縮性ネマチック液体結晶系の全域的強い解の存在および一意性を確立すること。
• 初期データに真空が存在する場合の、強い解の解析を複雑にする課題に対処すること。
• 時間に依存しない事前推定を用いて、局所的強い解を全域的解に拡張すること。
• 速度場と配向場の間の異方的結合をエネルギーおよび正則性推定を用いて取り扱うこと。
• 2次元および3次元の両ケースを統一的に扱う枠組みを提供すること、初期データに対する異なる小さな条件を含むこと。

提案手法

• エネルギー法およびソボレフ埋め込みを用いて、局所的強い解に対する時間に依存しない事前推定を導出する。
• グローヴァルの不等式を適用して、時間経過に伴う主要なエネルギーノルムの増大を制御する。
• エリクセン＝レジー系の構造、特にナビエ＝ストークス方程式と配向場の調和写像熱方程式との結合を活用する。
• 速度場および配向場に対して$L^2$および$H^1$エネルギー推定を適用し、$ abla d \odot \nabla d$を含む非線形項を注意深く取り扱う。
• 解を基準状態と比較する相対エネルギー枠組みを導入し、一意性を証明する。
• パoincaréおよびホルダーの不等式を用いて高階ノルムを制御し、エネルギー推定を閉じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データのノルムが小さく、2次元および3次元の領域に真空が存在する非圧縮性ネマチック液体結晶系に対して、全域的強い解が存在可能か？
• RQ2 2次元および3次元において、全域的強い解の存在を保証するための初期データに対する十分な小さな条件は何か？
• RQ3 局所的強い解を全域的解に拡張するために、時間に依存しない事前推定をどのように確立できるか？
• RQ4 異方的応力項$ abla( abla d \odot \nabla d)$は、解の正則性および長時間挙動にどのような役割を果たすか？
• RQ5 同じ小さな条件のもとで、全域的強い解の一意性は保証されるか？

主な発見

• 2次元では、初期基本エネルギー$ \|\sqrt{\rho_0}u_0\|_{L^2}^2 + \|\nabla d_0\|_{L^2}^2$が十分に小さい場合に、全域的強い解が存在する。
• 3次元では、基本エネルギーと$ \|\nabla u_0\|_{L^2}^2 + \|\nabla^2 d_0\|_{L^2}^2$の積に関する小さな条件のもとで、全域的強い解が存在する。
• 著者らは、局所的強い解を時間区間$[0, \infty)$にまで拡張可能であることを保証する時間に依存しない事前推定を確立した。
• 相対エネルギー比較およびグローヴァルの不等式を用いて、全域的強い解の一意性が証明された。
• 初期密度$ ho_0$が真空を許容する場合、すなわち正の測度の集合で$ ho_0 = 0$となる場合でも、この手法は適用可能である。
• ソボレフ埋め込みおよび$L^p$推定を用いた非線形項のきめ細やかな制御に依拠し、エネルギーノルムが時間に一様に有界であることを保証した。