[論文レビュー] Gluing I: Integrals and Symmetries

Mykola Dedushenko|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、位相空間におけるラグランジュ的foliationによって定義される偏極境界条件を用いて、量子場の理論を境界に沿って接続する経路積分的手法を定式化する。特に、特定の条件下で親d次元の場の理論の対称性が(d−1)次元の接続理論に降下することを確立し、局所的QFTから非局所的境界理論を構成するための厳密な枠組みを提供する。応用例は併論で議論されている。

ABSTRACT

We review some aspects of the cutting and gluing law in local quantum field theory. In particular, we emphasize the description of gluing by a path integral over a space of polarized boundary conditions, which are given by leaves of some Lagrangian foliation in the phase space. We think of this path integral as a non-local $(d-1)$-dimensional gluing theory associated to the parent local $d$-dimensional theory. We describe various properties of this procedure and spell out conditions under which symmetries of the parent theory lead to symmetries of the gluing theory. The purpose of this paper is to set up a playground for the companion paper where these techniques are applied to obtain new results in supersymmetric theories.

研究の動機と目的

• 局所的QFTにおける切断・接続の公理を、偏極境界条件の経路積分として形式化すること。
• d次元のQFTのグローバル対称性が、結果として得られる(d−1)次元の接続理論にどのように対称性を誘導するかを明確化すること。
• 特にユークリッドおよびローレンツ型の領域において、非位相的で摂動的QFTにおける接続手続きの数学的基盤を提供すること。
• 運動量空間の波動関数における顕在的な発散を、解析接続によって解消し、接続操作の整合性を保証すること。
• 超対称的理論への応用のための土台を、超対称的設定における接続を扱う併論を通じて築くこと。

提案手法

• 各境界条件が位相空間におけるラグランジュ的foliationの葉に対応する、偏極境界条件の空間上の経路積分として接続を定式化する。
• BV-BFV形式を用いて、境界を持つ多様体上の摂動的ゲージ理論における切断・接続の整合性を保証する。
• ユークリッドからローレンツ型の符号に解析接続を適用し、運動量空間における正規化可能な波動関数を導出することで、素朴なユークリッド経路積分における発散を解消する。
• ローレンツ型の進化に結合するユークリッド的「キャップ」を用いて境界状態を構成し、1次元QFTにおける入状態の生成をモデル化する。
• 解析接続された波動関数を用いることで、自己接続やキャップ同士の接続といった接続操作が、正しい熱的分配関数を生成することを示す。
• 位置空間と運動量空間の表現における接続の対応を確立し、ユークリッド波動関数の解析接続が行われた後でのみ、整合性が保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的QFTにおける接続手続きを、偏極境界条件の経路積分として一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 d次元のQFTのグローバル対称性が(d−1)次元の接続理論にどのように対称性を誘導するのか、どのような条件下か？
• RQ3 素朴なユークリッド運動量空間の波動関数がなぜ正規化可能な状態を生成しないのか、そしてその問題はどのように解決できるか？
• RQ4 ユークリッド波動関数の解析接続が、自己接続やキャップ同士の接続といった接続操作における整合性をどのように回復するのか？
• RQ5 ラグランジュ的foliationが、接続経路積分の境界条件の空間を定義する際に果たす正確な役割は何か？

主な発見

• 位相空間におけるラグランジュ的foliationの葉によって定義される偏極境界条件の経路積分は、親d次元QFTに対して非局所的(d−1)次元の接続理論を提供する。
• 親QFTの対称性が、対応するベクトル場がラグランジュ的foliationおよび境界作用を保存する限り、接続理論に対応する対称性を誘導する。
• 素朴なユークリッド運動量空間の波動関数は発散するが、ローレンツ型に解析接続することで、二乗可積分で物理的に整合性のある波動関数が得られる。
• 解析接続された波動関数を用いて2つのユークリッドキャップを接続すると、長さ2Tの円上の正しい熱的分配関数が得られ、期待される結果と一致する。
• 解析接続された波動関数を用いたキャップの自己接続により、長さTの円上の熱的分配関数が再現され、整合性が確認される。
• この手続きにより、運動量空間における接続の顕在的な不整合が解消され、ローレンツ型（解析接続済み）波動関数のみが正しい正規化と物理的結果をもたらすことが示された。