[論文レビュー] Grammar Logics in Nested Sequent Calculus: Proof Theory and Decision Procedures

Alwen Tiu, Egor Ianovski+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2012

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、逆接を伴う文法論理のためのネストドシーケント計算フレームワークを提示し、構文的カット除去を可能にするとともに、深層帰納法を用いたコンテキストフリー文法論理のための新しい半決定的手順を提示する。正則な文法の場合、この手続きは停止し、明示的な有限状態オートマトンを入力とせずとも決定的手順をもたらすことが示された。

ABSTRACT

A grammar logic refers to an extension to the multi-modal logic K in which the modal axioms are generated from a formal grammar. We consider a proof theory, in nested sequent calculus, of grammar logics with converse, i.e., every modal operator [a] comes with a converse. Extending previous works on nested sequent systems for tense logics, we show all grammar logics (with or without converse) can be formalised in nested sequent calculi, where the axioms are internalised in the calculi as structural rules. Syntactic cut-elimination for these calculi is proved using a procedure similar to that for display logics. If the grammar is context-free, then one can get rid of all structural rules, in favor of deep inference and additional propagation rules. We give a novel semi-decision procedure for context-free grammar logics, using nested sequent calculus with deep inference, and show that, in the case where the given context-free grammar is regular, this procedure terminates. Unlike all other existing decision procedures for regular grammar logics in the literature, our procedure does not assume that a finite state automaton encoding the axioms is given.

研究の動機と目的

• ネストドシーケント計算を用いて、逆接を伴う文法論理の証明理論的フレームワークを構築すること。
• 表示計算における証明探索の制限を克服するため、複雑な構造規則を排除すること。
• 深層帰納法と伝搬規則を用いて、コンテキストフリー文法論理のための半決定的手順を設計すること。
• 正則文法論理に対して、この手続きの停止性と正しさを証明すること。特に、明示的な有限状態オートマトンが提供されていなくてもよい。
• 構造規則の受理可能性と伝搬規則を介して、ネストドシーケント計算とラベル付き計算との間の関係を確立すること。

提案手法

• 浅いネストドシーケント計算において、逆接を伴う文法論理を形式化し、公理を構造規則として内部化する。
• 表示論理におけるものと類似した手続きを用いて、構文的カット除去を証明する。
• コンテキストフリー文法の場合、構造規則を深層帰納法と伝搬規則に置き換える。
• 反復的深さ優先探索とS安定シーケントの飽和に基づく半決定的手順を導入する。
• 半ステューゼシステムにおける閉包作用素を用いてFSAの挙動をシミュレートし、安定シーケントのサイズを有界化する。
• FSA安定シーケントとS安定・S伝搬シーケントの対応関係を確立することで、正則文法に対して停止性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆接を伴う文法論理は、構造規則を備えたネストドシーケント計算で形式化可能か？
• RQ2 コンテキストフリー文法論理において、深層帰納法を用いてネストドシーケント計算の構造規則を排除できるか？
• RQ3 ネストドシーケントと深層帰納法に基づくコンテキストフリー文法論理のための半決定的手順は存在するか？
• RQ4 有限状態オートマトンが提供されていない場合、正則文法論理に対してこの手続きは停止するか？
• RQ5 ネストドシーケント計算における構造規則とラベル付き計算におけるフレーム規則との関係は何か？

主な発見

• 逆接を伴う・伴わない文法論理は、すべて構造規則を備えたネストドシーケント計算で形式化可能であり、構文的カット除去が成立する。
• コンテキストフリー文法の場合、構造規則は深層帰納法と伝搬規則に置き換え可能であり、半決定的手順を可能にする。
• コンテキストフリー文法論理のための半決定的手順は正しく、式が証明可能であるときかつそのときに限り⊤を返す。
• 正則文法論理の場合、S安定シーケントのサイズが有界であるため、明示的なFSAが存在しなくても手続きは停止する。
• この手続きは正則文法論理の決定的手順であり、文法を有限状態オートマトンとして符号化する必要がない。
• フレーム規則の受理可能性と伝搬規則を介して、ネストドシーケント計算とラベル付き計算との間の関係が強化された。