[論文レビュー] Gravitational Higgs Mechanism with a Topological Term

Ichiro Oda|ArXiv.org|Sep 17, 2007

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 9被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、スカラー場のポリヤコフ型作用を導入することで、't Hooftの重力的ヒッグス機構に位相的拡張を加える。この作用は自然にスカラー場から構成される代替計量テンソルを導く。追加項が位相的である——具体的には包み込み数である——と要求することで、ヤコビ行列式 ∂μϕᵃ の行列式に対する正定性条件が得られ、これが一意に単位包み込み数領域を選択する。これにより、't Hooftのゲージ固定条件が正当化され、スカラー場の非ユニタリ性問題が古典的レベルで解決される。

ABSTRACT

We investigate the Higgs mechanism for gravity, which has been recently put forward by 't Hooft, when the Polyakov-type action for scalar fields is added to the original action. We find that from the Polyakov-type action, it is very natural to derive an 'alternative' metric tensor composed of the scalar fields. The positivity condition on the determinant can be also derived easily by requiring that this term does not change the dynamics at all and becomes a topological number, that is, the wrapping number. It turns out that the gauge conditions adopted by 't Hooft are nothing but the restriction on a sector with unit wrapping number.

研究の動機と目的

• 重力的ヒッグス機構における位相的項の役割を調査すること。
• スカラー場のポリヤコフ型作用から代替計量テンソルを導出すること。
• 行列式 ∂μϕᵃ の正定性条件が、項が位相的であると要求することから自然に生じることを示すこと。
• 't Hooftのゲージ固定条件を単位包み込み数領域の選択として解釈すること。
• 位相的制約を作用に埋め込むことで、重力的ヒッグス機構におけるスカラー場の非ユニタリ性問題を、恣意的なゲージ固定ではなく、回避すること。

提案手法

• スカラー場の行列式と宇宙定数 $ \Lambda_P $ を含むポリヤコフ型作用 $ S_P $ を導入する。
• 補助計量 $ g^{\mu\nu}_{\phi} $ について作用を変分し、$ g^{\mu\nu}_{\phi} = \frac{T}{\Lambda_P} \partial^\mu \phi^a \partial^\nu \phi^a $ を固定する運動方程式を導出する。
• 符号の曖昧さを排除し、位相的不変性を保証するために、$ \det_{\mu,a} \partial_\mu \phi^a > 0 $ の条件を課す。
• $ S_P $ が位相的不変量に簡略化されることを示す：$ S_P = -\Lambda_P \int d^4x \, \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_\mu \phi^1 \partial_\nu \phi^2 \partial_\rho \phi^3 \partial_\sigma \phi^4 $、これは包み込み数である。
• ゲージ条件 $ \phi^\mu = m x^\mu $ が単位包み込み数に対応することを示し、't Hooftモデルにおけるその使用を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的項を重力的ヒッグス機構に一貫して導入し、力学に影響を与えることなく、どのように可能か？
• RQ2 この文脈において、行列式 $ \det_{\mu,a} \partial\mu \phi^a > 0 $ の物理的・数学的意味は何か？
• RQ3 なぜ 't Hooftのゲージ固定条件 $ \phi^\mu = m x^\mu $ がこの枠組みで自然に出現するのか？
• RQ4 スカラー場の非ユニタリ性問題を、恣意的なゲージ固定ではなく、位相的制約によって排除できるか？
• RQ5 代替計量テンソル $ g^{\mu\nu}_{\phi} $ は、ポリヤコフ作用を用いて第一原理から導出可能か？

主な発見

• ポリヤコフ型作用は、ヤコビ行列式 $ \partial_\mu \phi^a $ を通じてスカラー場 $ \phi^a $ から構成される代替計量テンソル $ g^{\mu\nu}_{\phi} $ を自然に導く。
• 正定性条件 $ \det_{\mu,a} \partial_\mu \phi^a > 0 $ は、作用 $ S_P $ が位相的かつ非力学的であるために必要な条件として自然に生じる。
• 作用 $ S_P $ は、包み込み数 $ \Pi_3(S^3) = \mathbb{Z} $ に比例する位相的不変量に簡略化され、具体的には $ S_P = -\Lambda_P \int d^4x \, \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_\mu \phi^1 \partial_\nu \phi^2 \partial_\rho \phi^3 \partial_\sigma \phi^4 $ となる。
• ゲージ固定条件 $ \phi^\mu = m x^\mu $ は単位包み込み数に対応しており、これが't Hooftモデルで選ばれる理由を説明する。
• 非ユニタリなスカラー場の問題は、位相的制約を作用に埋め込むことで古典的レベルで解決され、恣意的な除去手順を回避できる。