[論文レビュー] Gromov Invariants for Holomorphic Maps from Riemann Surfaces to Grassmannians

Aaron Bertram, Georgios Daskalopoulos+1 more|ArXiv.org|Jun 8, 1993

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、滑らかなリーマン面からグラスマン多様体への正則写像のウーレンベックコンパクト化に自然な射影的スキーム構造を与えることを確立し、それがグロテンディーク・クォット・スキームによる代数的コンパクト化によって支配されることを示している。この空間を一般化されたバーブス解のモジュライ空間に埋め込むことで、グローモフ不変量を効果的に計算する手法を提供しており、特に genus 1 の場合に明示的に計算されている。

ABSTRACT

Two compactifications of the space of holomorphic maps of fixed degree from a compact Riemann surface to a Grassmannian are studied. It is shown that the Uhlenbeck compactification has the structure of a projective scheme and is dominated by the algebraic compactification arising as a Grothendieck Quot scheme. The latter may be embedded into the moduli space of solutions to a generalized version of the vortex equations studied by Bradlow. This gives an effective way of computing certain intersection numbers (known as Gromov invariants) on the space of holomorphic maps into Grassmannians. We carry out these computations in the case where the Riemann surface has genus one.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン面からグラスマン多様体への正則写像の空間の2つのコンパクト化、すなわちウーレンベックコンパクト化とグロテンディーク・クォット・スキームによる代数的コンパクト化を研究すること。
• ウーレンベックコンパクト化が自然な射影的スキーム構造を有することを確立すること。
• クォット・スキームによる代数的コンパクト化が、ウーレンベックコンパクト化を支配することを示すこと。
• クォット・スキームコンパクト化をブレドロウが研究した一般化されたバーブス方程式の解のモジュライ空間に埋め込むこと。
• 特に genus 1 の場合に、グラスマン多様体への正則写像の空間におけるグローモフ不変量を効果的に計算するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• genus 1 のリーマン面からグラスマン多様体への次数 d の正則写像のウーレンベックコンパクト化を構成すること。
• バブルツリーを持つ正則写像の極限を分析することで、ウーレンベックコンパクト化が射影的スキームであることを証明すること。
• グロテンディーク・クォット・スキームを用いて、正則写像の空間の代数的コンパクト化を構成すること。
• 自然な準同型を通じて、クォット・スキームコンパクト化がウーレンベックコンパクト化を支配することを示すこと。
• クォット・スキームを一般化されたバーブス方程式の解のモジュライ空間の部分空間として実現し、ブレドロウの枠組みを拡張すること。
• この幾何的埋め込みを活用して、コンパクト化されたモジュライ空間上で代数的幾何の技法を用いて交点数（グローモフ不変量）を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus 1 のリーマン面からグラスマン多様体への正則写像のウーレンベックコンパクト化に自然な射影的スキーム構造を与えることは可能か？
• RQ2 ウーレンベックコンパクト化とクォット・スキームコンパクト化の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 クォット・スキームコンパクト化は、一般化されたバーブス解のモジュライ空間に埋め込めるか？
• RQ4 コンパクト化されたモジュライ空間上で代数的幾何を用いて、グラスマン多様体への正則写像のグローモフ不変量を効果的に計算できるか？
• RQ5 genus 1 のリーマン面の場合におけるグローモフ不変量の明示的な値は何か？

主な発見

• genus 1 のリーマン面からグラスマン多様体への次数 d の正則写像のウーレンベックコンパクト化は、自然な射影的スキーム構造を有する。
• クォット・スキームコンパクト化が、固有な準同型を通じてウーレンベックコンパクト化を支配しており、より強い代数的構造を示している。
• クォット・スキームコンパクト化は、一般化されたバーブス方程式の解のモジュライ空間に埋め込まれており、ブレドロウの結果を拡張している。
• この埋め込みにより、コンパクト化された空間上の交点数としてのグローモフ不変量を効果的に計算する手法が得られた。
• 本稿では、genus 1 のリーマン面の場合にグローモフ不変量を明示的に計算し、具体的な数値結果を導出している。
• 結果として、シンプレクティック幾何学（グローモフ不変量）と代数的幾何学（クォット・スキームおよびバーブス解のモジュライ）の間の橋渡しを確立した。