[論文レビュー] Gromov-Witten theory of A n -resolutions

Davesh Maulik|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、すべての genus および任意の descendant 插入を持つ A_n 解消表面特異点の削減 Gromov-Witten 理論について完全な解を提供する。さらに、非退化性条件の下で A_n × P^1 の T-等配付相対 Gromov-Witten 理論を計算し、完全な解を得るとともに、A_n 表面の点の Hilbert スキームの量子コホモロジーとの比較を確立する。

ABSTRACT

We give a complete solution for the reduced Gromov-Witten theory of resolved surface singularities of type An, for any genus, with arbitrary descendent insertions. We also present a partial evaluation of the T -equivariant relative Gromov-Witten theory of the threefold An × P 1 which, under a nondegeneracy hypothesis, yields a complete solution for the theory. The results given here allow comparison of this theory with the quantum cohomology of the Hilbert scheme of points on the An surfaces. We discuss generalizations to linear Hodge insertions and to surface resolutions of type D, E. As a corollary, we present a new derivation of the stationary Gromov-Witten theory of P 1 .

研究の動機と目的

• すべての genus における A_n 解消表面特異点の削減 Gromov-Witten 理論に対する完全な解を提供すること。
• 非退化性仮定の下で三様体 A_n × P^1 の T-等配付相対 Gromov-Witten 理論を評価すること。
• A_n 解消の Gromov-Witten 理論と A_n 表面の点の Hilbert スキームの量子コホモロジーとの間の比較を確立すること。
• 線形 Hodge 插入子および D 型および E 型の表面解消にまで結果を一般化すること。
• この枠組みから、P^1 の静的 Gromov-Witten 理論の新たな証明を系として導出すること。

提案手法

• A_n 解消表面の特異点を扱うために、削減 Gromov-Witten 理論を用いる。
• T-等配付技術を用いて、三様体 A_n × P^1 上の相対不変量を計算する。
• T-等配付相対理論の完全性を保証するために、非退化性仮定を適用する。
• 局所化および等配付積分に依拠して、descendant 型および Hodge 型の挿入子を評価する。
• 幾何的および数え上げ的比較を通じて、Gromov-Witten 不変量と Hilbert スキームの量子コホモロジーとの間の対応を確立する。
• 構造的類似性および理論的一般化を通じて、D_n および E_n 表面解消への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての genus における A_n 解消特異点の削減 Gromov-Witten 理論の完全な構造は何か？
• RQ2 非退化性条件の下で、A_n × P^1 の T-等配付相対 Gromov-Witten 理論はどのように完全に評価できるか？
• RQ3 A_n 解消の Gromov-Witten 理論と A_n 表面の点の Hilbert スキームの量子コホモロジーとの間の明確な関係は何か？
• RQ4 これらの手法は、線形 Hodge 插入子および D_n および E_n 特異点の解消に一般化可能か？
• RQ5 この枠組みから、P^1 の静的 Gromov-Witten 理論を新たに導出できるか？

主な発見

• 任意の descendant 插入子およびすべての genus に対して、A_n 解消表面の削減 Gromov-Witten 理論に対する完全な解が得られた。
• 非退化性仮定の下で、A_n × P^1 の T-等配付相対 Gromov-Witten 理論が完全に計算され、完全な解が得られた。
• A_n 解消の Gromov-Witten 不変量と A_n 表面の点の Hilbert スキームの量子コホモロジーとの間の明確な比較が確立された。
• この枠組みは、線形 Hodge 插入子および D 型および E 型の表面解消へと一般化可能であり、部分的には評価済みである。
• 系として、この幾何的および数え上げ的アプローチを通じて、P^1 の静的 Gromov-Witten 理論の新たな導出が得られた。
• 結果は、オルビフォールド Gromov-Witten 理論、Hilbert スキーム、および局所 Calabi-Yau 3 次元多様体の間の深い構造的関係を示している。