[論文レビュー] Group Gradings on Simple Lie Algebras of Type "A"

Yuri Bahturin, Mikhail Zaicev|ArXiv.org|Jun 2, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 47

ひとこと要約

この論文は、特性 0 の代数閉体上での型 A（つまり $\ mathrm{sl}(n)$）の単純リー代数におけるすべての有限アーベル群によるグレーディングを分類する。すべての such グレーディングは、全行列代数 $M_n$ 上の基本的グレーディング（タイプ I）から来るとか、$M_n$ 上の自己同型を保存するグレーディングと、位数 2 の元による特定のねじれを組み合わせたもの（タイプ II）から来ることを示し、行列代数のテンソル積を用いた両タイプの明示的構成を与える。

ABSTRACT

In this paper we describe all group gradings by a finite abelian group G of any Lie algebra L of the type "A" over algebraically closed field F of characteristic zero.

研究の動機と目的

• 代数閉体の特性 0 における型 A の単純リー代数、特に $\mathrm{sl}(n)$ における、有限アーベル群によるすべてのグレーディングを分類すること。
• すべての such グレーディングが、全行列代数 $M_n$ のグレーディングの制限から得られるか、または $M_n$ 上の自己同型から得られるかどうかを特定すること。
• すべての可能なグレーディングの明示的構成と構造的記述を提供し、タイプ I（基本的）とタイプ II（自己同型によるねじれ付き）の区別を行うこと。
• これらの 2 種類が、内自己同型による同値類を除いて、$\ mathrm{sl}(n)$ におけるすべての有限アーベル群グレーディングを尽くしていることを示すこと。
• テンソル積分解とサポート条件を用いて、$\ mathrm{sl}(n)$ 上のグレーディングと、自己同型を保存する $M_n$ 上のグレーディングとの間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、有限アーベル群 $G$ による単純リー代数 $\ mathrm{sl}(n)$ 上のグレーディングが、そのサポートがアーベル部分群を生成するため、全行列代数 $M_n$ 上のグレーディングから生じることを用いる。
• $M_n$ 上のグレーディングを 2 つの主なタイプに分類する：$G^n$ の $n$-重組 $(g_1,\dots,g_n)$ で定義される基本的グレーディングと、サポートが $\mathbb{Z}_2^k$ に同型である行列代数上の細分グレーディング（これらはタイプ II グレーディングの構成に使われる）。
• タイプ I グレーディングでは、$M_n$ の $G$-グレーディングをトレース 0 の行列に制限することで $\ mathrm{sl}(n)$ 上のグレーディングが得られ、同次成分は行列単位 $E_{ij}$ とトレース 0 の対角行列によって定義される。
• タイプ II グレーディングでは、$G$-グレーディングを保存する $M_n$ 上の自己同型を用い、同次成分の反対称部と対称部をとり、位数 2 の元 $h$ によるねじれを加えることで $\ mathrm{sl}(n)$ 上のグレーディングを定義する。
• この手法では、$M_n$ を $A \otimes B$ として分解し、$A \cong M_p$ が基本的 $G$-グレーディングを持ち、$B \cong M_q$ がサポート $T \cong \mathbb{Z}_2^k$ の細分グレーディングを持ち、$A$ のサポートと自明に交わる（交わりが自明）ようにする。
• 両タイプの同次成分 $L_g$ に対して明示的な式が与えられ、特定の次数と対称性を持つ同次成分 $Y \otimes X_t$ の線型包として表される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性 0 の代数閉体上での $\ mathrm{sl}(n)$ におけるすべての有限アーベル群グレーディングは分類可能か？
• RQ2 すべての such グレーディングは、全行列代数 $M_n$ のグレーディングから誘導されるか？
• RQ3 $\ mathrm{sl}(n)$ 上のグレーディングは、$M_n$ 上の基本的グレーディングから生じるか、あるいは $M_n$ 上の自己同型から生じるか？
• RQ4 すべての可能なグレーディングの明示的構造的記述（同次成分の公式を含む）が可能か？
• RQ5 $\ mathrm{sl}(n)$ 上のすべてのグレーディングは、自己同型を保存する $M_n$ 上のグレーディングの制限またはねじれとして実現可能か？

主な発見

• 特性 0 の代数閉体上での $\ mathrm{sl}(n)$ におけるすべての有限アーベル群グレーディングは、$M_n$ の内自己同型による同値類において、タイプ I またはタイプ II グレーディングに共役である。
• タイプ I グレーディングは、$M_n$ 上の基本的 $G$-グレーディングから誘導され、$p$-重組 $(g_1,\dots,g_p) \in G^p$ で定義され、$\deg E_{ij} = g_i^{-1}g_j$ となる。
• タイプ II グレーディングは、自己同型を保存する $G$-グレーディングを持つ $M_n$ から生じ、$\ mathrm{sl}(n)$ 上のグレーディングは同次成分の反対称部と対称部をとり、位数 2 の元 $h$ によるねじれを加えることで定義される。
• タイプ II グレーディングでは、行列代数 $M_n$ が $A \otimes B$ に分解され、$A \cong M_p$ は基本的グレーディングを持ち、$B \cong M_q$ はサポート $T \cong \mathbb{Z}_2^k$ の細分グレーディングを持ち、$n_1 = \cdots = n_k = 2$ となる。
• タイプ II グレーディングの同次成分 $L_g$ は、次数 $g$ が $h$ に対して反対称または対称であるような同次成分 $Y \otimes X_t$ の線型包として明示的に記述され、$g = h$ の場合に特別な扱いがなされる。
• 分類は完全である：$\ mathrm{sl}(n)$ 上のすべてのグレーディングは、これらの 2 種類のいずれかから生じており、それ以外のグレーディングは存在しない。