[論文レビュー] Hom-algebras and homology

Donald Yau|ArXiv.org|Dec 20, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 19被引用数 223

ひとこと要約

本稿では、代数自己準同型を用いて、古典的結合的およびリー代数からホム代数を体系的に変形する方法を導入し、非自明な係数をもつホムリー代数に対するチェバレフ＝アイレンバーグ型ホモロジー理論を確立する。主な貢献は、ねじれ写像が恒等写像である場合に標準的なリー代数ホモロジーが回復されるような、チェーン複体を構成することであり、これにより古典的ホモロジー代数がホム代数の文脈に一般化される。

ABSTRACT

Classes of $G$-Hom-associative algebras are constructed as deformations of $G$-associative algebras along algebra endomorphisms. As special cases, we obtain Hom-associative and Hom-Lie algebras as deformations of associative and Lie algebras, respectively, along algebra endomorphisms. Chevalley-Eilenberg type homology for Hom-Lie algebras are also constructed.

研究の動機と目的

• 代数自己準同型に 沿った $G$-ホム結合的代数の一般的構成法を提供すること。
• ホム結合的およびホムリー代数が、自己準同型による変形として、結合的およびリー代数から自然に生じることを示すこと。
• 非自明な係数をもつホムリー代数のホモロジー理論を構築し、古典的チェバレフ＝アイレンバーグ複体を一般化すること。
• ねじれ写像が恒等写像である場合に、ホムリー代数のホモロジーが標準的なチェバレフ＝アイレンバーグホモロジーに一致することを確立すること。

提案手法

• 代数自己準同型 $\alpha$ による $\alpha$-ねじれ結合的条件で定義される、ホム結合的代数の一般化として $G$-ホム結合的代数を導入する。
• $G$-結合的代数 $A$ を自己準同型 $\alpha$ に 沿って変形することで、$G$-ホム結合的代数を構成し、新しい積 $\mu_\alpha(a,b) = \mu(\alpha(a),\alpha(b))$ を得る。
• ホム結合的代数 $A$ に対して、ベクトル空間 $L$ 上に $[x,y]_\alpha = \alpha([x,y])$ で定義されるコ commutator ブラケットを用いてホムリー代数構造を定義する。これは、リー代数の構成を一般化する。
• ホムリー代数 $L$ とホム-$L$-加群 $M$ に対して、ねじれ写像 $\alpha$ とブラケットを含む微分 $d$ を用いて、チェーン複体 $CE^\alpha_*(L,M)$ を構成する。
• $d^2 = 0$ を確認することで、複体 $CE^\alpha_*(L,M)$ がチェーン複体であることを証明する。この際、ホムジャコビ恒等式と加群の公理に依存する。
• $n$ 番目のホモロジー $H^\alpha_n(L,M)$ をこの複体のホモロジーとして定義し、0番目のホモロジーは $H^\alpha_0(L,M) = M / \text{span}_\mathbb{K}\{mx \mid m \in M, x \in L\}$ で与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的結合的およびリー代数を、代数自己準同型を用いて、ホム結合的およびホムリー代数へ体系的に変形する方法は何か？
• RQ2 自己準同型による結合的代数の変形がホム結合的代数を生じるための条件は何か？
• RQ3 非自明な係数をもつホムリー代数に対して、チェバレフ＝アイレンバーグ型ホモロジー理論を構築できるか？
• RQ4 ねじれ写像 $\alpha$ が恒等写像である場合、提案されたホモロジー理論は古典的チェバレフ＝アイレンバーグホモロジーに還元されるか？
• RQ5 ホムリー代数の文脈において、0番目のホモロジー加群の代数的解釈は何か？

主な発見

• 代数自己準同型 $\alpha$ に 沿った $G$-結合的代数の変形により、$G$-ホム結合的代数が得られ、ホム結合的およびホムリー代数の構成を一般化する。
• ホム結合的代数は、コ commutator ブラケット $[x,y]_\alpha = \alpha([x,y])$ を用いてホムリー代数へと導かれる。これは、古典的リー代数構成を拡張する。
• ホムリー代数 $L$ とホム-$L$-加群 $M$ に対して、ねじれ写像 $\alpha$ を含む微分を用いたチェバレフ＝アイレンバーグ型チェーン複体 $CE^\alpha_*(L,M)$ が構成される。
• $CE^\alpha_*(L,M)$ がチェーン複体である、すなわち $d^2 = 0$ であることが、ホムジャコビ恒等式と加群の公理に依拠して証明される。
• 0番目のホモロジー加群は $H^\alpha_0(L,M) = M / \text{span}_\mathbb{K}\{mx \mid m \in M, x \in L\}$ で与えられ、これはリー代数のアーベル化を一般化する。
• $\alpha = \text{id}$ の場合、ホモロジー $H^\alpha_n(L,M)$ は、元のリー代数 $L$ の古典的チェバレフ＝アイレンバーグホモロジーと一致する。